[几何] 平面向量一题，求解法。

参考答案感觉有点难想到，有没有简单容易上手的解法，请指点。

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zhcosin

2^#

发表于 2017-10-12 19:23 | 只看该作者

本帖最后由 zhcosin 于 2017-10-13 07:45 编辑

回复 1# xianjian
解法一 我们伸缩$\vec{AP}$使其终点落在$BC$边上，为此需要放缩系数，使它的系数和为1:
\[ \vec{AP}=\frac{7}{10}\left( \frac{3}{7} \vec{AB}+\frac{4}{7} \vec{AC} \right) \]
括号内的部分系数和为1，因而以$A$作起点作出此向量，则它的终点在$BC$边上，又显然它与$\vec{AP}$共线，所以它就是直线$AP$与$BC$的交点，记为$E$，则
\[ \vec{AE}= \frac{3}{7} \vec{AB}+\frac{4}{7} \vec{AC} \]
以及
\[ \vec{AP}=\frac{7}{10}\vec{AE}\]
显然由$\vec{AE}$的表达式可得
\[ \vec{BE}=\frac{4}{3}\vec{EC} \]
即$BE:EC=4:3$，所以答案是
\[ \frac{S_{\triangle{APD}}}{S_{\triangle{ABC}}}= \frac{BE}{BC} \cdot \frac{AP}{AE} \cdot \frac{AD}{AB} = \frac{4}{4+3}\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10} \]

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isee

3^#

发表于 2017-10-12 19:49 | 只看该作者

这类题比较多，除了楼上，还有，如，随手找到个链接

注意
“参阅《撸题集》第1019页FAQ21”

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zhcosin

4^#

发表于 2017-10-12 19:59 | 只看该作者

本帖最后由 zhcosin 于 2017-10-13 07:46 编辑

解法二 利用外积，为方便书写，先定义共线向量的除法运算，如果$\vec{a}=\lambda\vec{b}$，则定义$\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\lambda$，那么
\[ \frac{S_{\triangle{APD}}}{S_{\triangle{ABC}}} = \frac{\vec{AD}\times\vec{AP}}{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac{\frac{3}{4}\vec{AB}\times \left( \frac{3}{10}\vec{AB}+\frac{2}{5}\vec{AC} \right)}{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac{\frac{3}{4}\vec{AB}\times\frac{2}{5}\vec{AC}}{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{10} \]

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zhcosin