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[几何] 证:光线在“三面角”上反射后入射光线平行

设三面角的三个面角都是直角,且三面角的内部由三个镜面组成。光线由外部射入三面角,依次被三面角的三个镜面反射,从最后一个镜面射出三面角。
证明射入的光线必平行于射出的光线。

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2017-10-10 17:23
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这个用解析方法最简单,用空间直角坐标系的第一卦限表示这个三面角,设入射光线所在直线的方程是$ax+by+cz+d=0$,在经过$xy$平面反射后的光线,必定沿直线$-ax-by+cz+d'=0$,即只要将$x$和$y$的系数加负号,并适当变动常数项,这是因为在经过$xy$平面反射时,入射光线与反射光线在$xy$平面上的投影都是直线$ax+by+d=0$(即去掉$z$项),同样,在经过另外两个平面反射时,只要将相应两个变量的系数加负并适当修改常数项就可以了,于是在经过三次反射后的方程是$-ax-by-cz+\gamma=0$,即与入射光线平行。

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回复 2# zhcosin

可以写得更简洁些,设入射时向量为 $\bm v=(x,y,z)$,经平面 $xy$ 反射就是将 $z$ 变成 $-z$,另外同面同理,所以三次反射后必变为 $-\bm v$,即平行且相反。

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回复 3# 色k
niubility

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