想不到好方法,步骤太麻烦,可能错了也查不出来
$\sum_{k=1}^n 9k10^{k-1}=\frac{(9n-1)10^n+1}{9}$
数列到了第$\frac{(9n-1)10^n+1}{9}$项时用尽了n位数
$\frac{(9n-1)10^n+1}{9}\le 10~~~~~\frac{(9n-1)10^n+1}{9}\le 10^2~~~~~\frac{(9n-1)10^n+1}{9}\le 10^{1000}$
$(9n-1)10^{n-1}+10^{-1}\le 9~~~~~(9n-1)10^{n-2}+10^{-2}\le 9~~~~~(9n-1)10^{n-1000}+10^{-1000}\le 9$
$n\le 1~~~~~n\le 1~~~~~n\le 997$
数列的第$10,10^2,10^{1000}$项分别落在某个$2,2,998$位数中
$10-\frac{(9\times 1-1)\times 10^1+1}{9}=1~~~~~10^2-\frac{(9\times 1-1)\times 10^1+1}{9}=91~~~~~10^{1000}-\frac{(9\times 997-1)\times 10^{997}+1}{9}=\frac{28\times 10^{997}-1}{9}$
$1\equiv 1\pmod{2}~~~~~91\equiv 1\pmod{2}~~~~~\frac{28\times 10^{997}-1}{9}\equiv 31\pmod{998}$
数列的第$10,10^2,10^{1000}$项分别落在这$2,2,998$位数中的第$1,1,31$个数字
$1-1=0~~~~~91-1=90~~~~~\frac{28\times 10^{997}-1}{9}-31=\frac{28\times 10^{997}-280}{9}$
这$2,2,998$位数分别是
$10^1+\frac{0}{2}=1~0~~~~~10^1+\frac{90}{2}=5~5~~~~~10^{997}+\frac{28\times 10^{997}-280}{9\times 998}=10031~17345~80271~65441~99510~13137~3~8588\dots$
数列的第$10,10^2,10^{1000}$项分别是$1,5,3$
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