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求和$\sum\arctan (2/n^2)$

求和$$\sum_{n=1}^\infty\arctan \left(\frac 2{n^2}\right).$$
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这个应该放到高等数学版块吧?

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回复 2# zhcosin


    被你看穿了,不过,就像导数一样,也能玩吧。

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这个应该放到高等数学版块吧?
zhcosin 发表于 2017-10-10 16:58


如果改成这样$$\tan\left(\sum_{n=1}^\infty\arctan \frac 1{n^2}\right).$$

怕就只能放高数版了

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回复 1# isee

这个简单吧,用公式$\arctan(\frac{2}{n^2})=\arctan(n+1)-\arctan(n-1)$,一化简就出来了。结果是$2\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}-0=\frac{3\pi}{4}$

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回复 5# abababa


    被你秒了,赞呢!追问,4楼呢?

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回复 5# abababa
Niubility.

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回复 6# isee

4楼的我不会,用软件算了一下,结果形式也挺复杂的。

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回复  isee

4楼的我不会,用软件算了一下,结果形式也挺复杂的。
abababa 发表于 2017-10-10 17:36


4#的答案
tan-sum.jpg

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arc是什么函数?就是第一个等号后面求和那里的。

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本帖最后由 isee 于 2017-11-6 22:30 编辑

回复 10# abababa


    哎呀,我擦,估计又是书上的一个书写错误。。。。。。

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arc是什么函数?就是第一个等号后面求和那里的。
abababa 发表于 2017-11-6 16:00


后面是复数,arc 应该是 arg

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回复 12# isee

arg也看不懂这个过程,实在是弄不清楚。不过用软件算确实结果是那个。

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回复 9# isee

这个从$\arg\left(\dfrac{\sinh(\frac{\pi(1+i)}{\sqrt{2}})}{\frac{\pi(1+i)}{\sqrt{2}}}\right)$向下化简的那步,具体过程是什么样的?

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根据双曲三角函数和角公式 $\sinh\frac{\pi+\pi \mathrm i}{\sqrt{2}}=\sinh\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cos\frac{\pi}{\sqrt{2}}+\mathrm{i}\cosh \frac{\pi}{\sqrt{2}}\sin \frac{\pi}{\sqrt{2}}$
接下来将分母实数化,然后整理为实部和虚部形式就得到最后结果了。

不过无穷乘积化为双曲三角函数那一步,最好给出证明。

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回复 15# Infinity

谢谢,我明白了,我直接用复数之商的辐角等于两辐角之差来算的,首先就把$\arg\frac{1}{\frac{\pi(1+i)}{\sqrt{2}}}$变成了$-\frac{\pi}{4}$,难怪算不出那种形式。

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回复 5# abababa
mark一下
Source: Iberoamerican Olympiad for University Students 2012 - Problem 4
$$\sum_{n=0}^{\infty}\arctan\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right)\text{.}$$
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1148125p5421623

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