本帖最后由 色k 于 2017-9-28 22:58 编辑
回复 11# hejoseph
用的技巧真多……
我还是把全化 tan10 的写写吧……
求证
\[\tan 10^\circ+\tan 20^\circ+\tan 40^\circ=\frac{3+7\tan^2 80^\circ}{\tan^3 80^\circ-3\tan 80^\circ}.\]
令 $t=\tan10\du$,则由倍角公式可知待证式等价于
\[
t+\frac{2t}{1-t^2}+\frac{4t-4t^3}{1-6t^2+t^4}=\frac{3+7t^{-2}}{t^{-3}-3t^{-1}},
\]
去分母化简,等价于证
\[3 t^6-27 t^4+33 t^2-1=0,\quad(*)\]
再由倍角公式有
\[\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=\tan30\du=\frac1{\sqrt3},\]
两边平方整理后同样为式 (*),所以得证。 |