证明层层长根式等

本帖最后由 isee 于 2017-9-21 16:41 编辑

证明：$$\sqrt 5+\sqrt{22+2\sqrt{5}}=\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}}.$$

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kuing

2^#

发表于 2017-9-21 17:10 | 只看该作者

昨天玩的是三次方程，这回是四次了吧？

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hejoseph

3^#

发表于 2017-9-21 17:11 | 只看该作者

本帖最后由 hejoseph 于 2017-9-21 17:29 编辑

设
\[
\left(a+b\sqrt{11-2\sqrt{29}}\right)^2=16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}，
\]
令
\[
\left\{
\begin{aligned}
a^2+\left(11-2\sqrt{29}\right)b^2&=16-2\sqrt{29}，\\
ab&=\sqrt{5}，
\end{aligned}
\right.
\]
解这个方程组得一组较简单的解
\[
\left\{
\begin{aligned}
a&=\sqrt 5，\\
b&=1，
\end{aligned}
\right.
\]
所以
\[
\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}}=\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{5}+\sqrt{11-2\sqrt{29}}。
\]
另外
\[
\left(\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{11-2\sqrt{29}}\right)^2=22+2\sqrt{5}，
\]
所以
\[
\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}}=\sqrt 5+\sqrt{22+2\sqrt{5}}。
\]

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isee