回复 5# isee
确实敏锐,被他一提示,我也想到了……
因为
\[\frac{k_{2,3}-k_1}{1+k_{2,3}k_1}=\pm\sqrt3,\]
那么 $k_1$, $k_2$, $k_3$ 是如下方程的三个根
\[\left( \left( \frac{x-k_1}{1+xk_1} \right)^2-3 \right)(x-k_1)=0,\]
去分母展开为
\[(1-3k_1^2)x^3+3k_1(k_1^2-3)x^2+3(3k_1^2-1)x+k_1(3-k_1^2)=0,\]
于是
\[k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1=\frac{3(3k_1^2-1)}{1-3k_1^2}=-3,\]
以及
\[(k_1+k_2+k_3)\left(\frac1{k_1}+\frac1{k_2}+\frac1{k_3}\right)
=\frac{-3(k_1+k_2+k_3)}{k_1k_2k_3}=\frac{-3\cdot 3k_1(k_1^2-3)}{k_1(3-k_1^2)}=9.\] |