本帖最后由 isee 于 2017-8-28 20:29 编辑
在$AC$上取点$E$,使$\triangle AEO$为等腰三角形,记$$AE=x,CD=y,ED=z.$$
由$BD$为角分线有$$\frac y{x+z}=\frac {BC}{BA}=\frac {\sin 20^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}=\frac {\sin 20^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}.$$
连接$OC$,由于$O$点为三角形$ABC$的外心,故$AO=OC$,于是在$\triangle AOC$中$$\frac x{y+z}=\frac {AO\sin AOE}{OC \sin EOC}=\frac {\sin 10^\circ}{\sin 150^\circ}=2\sin 10^\circ.$$
由正弦倍角公式,得$$\sin 20^\circ=2\sin10^\circ\cos 10^\circ\iff \frac {\sin 20^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=2\sin 10^\circ.$$
从而$$\frac y{x+z}=\frac x{y+z}\iff (x-y)(x+y+z)=0\iff x=y.$$即$$AE=CD.$$这表明$$\triangle EAO\cong\triangle DCO.$$进一步,有$$\angle ODA=20^\circ.$$ |