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[几何] 顶角为20度的等腰三角形求与外心相关的角

题如图,其妙转



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点$O$是$\triangle ABC$的外心,$BD$为$\triangle ABC$的角分线,若$AB=AC,\angle A=20^{\circ}$,求$\angle ODA$.


暂想出一个三角证明。
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本帖最后由 isee 于 2017-8-28 20:29 编辑

angleB.png
2017-8-28 13:08



在$AC$上取点$E$,使$\triangle AEO$为等腰三角形,记$$AE=x,CD=y,ED=z.$$
由$BD$为角分线有$$\frac y{x+z}=\frac {BC}{BA}=\frac {\sin 20^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}=\frac {\sin 20^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}.$$
连接$OC$,由于$O$点为三角形$ABC$的外心,故$AO=OC$,于是在$\triangle AOC$中$$\frac x{y+z}=\frac {AO\sin AOE}{OC \sin EOC}=\frac {\sin 10^\circ}{\sin 150^\circ}=2\sin 10^\circ.$$
由正弦倍角公式,得$$\sin 20^\circ=2\sin10^\circ\cos 10^\circ\iff \frac {\sin 20^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=2\sin 10^\circ.$$
从而$$\frac y{x+z}=\frac x{y+z}\iff (x-y)(x+y+z)=0\iff x=y.$$即$$AE=CD.$$这表明$$\triangle EAO\cong\triangle DCO.$$进一步,有$$\angle ODA=20^\circ.$$

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未命名.PNG
2017-8-29 10:31

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游客 发表于 2017-8-29 10:36

原来那些都是纸老虎,

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本帖最后由 乌贼 于 2017-11-7 02:06 编辑

211.png
2017-11-7 02:05

连接$ AO,BO,CO $,$ G $为$ CO $与$ BD $交点,作$ DE\perp BO $交$ AB $于$ E $。易证\[ \angle DEG=\angle DCG =10\du \]
延长$ AO $交$ DE $于$ F $,连接$ BF $,$ \triangle ADB $中由你角平分线定理得\[ \angle ABF=20\du  \]易知\[ \angle BOE=20\du  \]所以$ \angle EOG=\angle EDG =60\du $,即$ EODG $四点共园,有\[ \angle DOG=\angle DEG=\angle DCG =10\du \]

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