[几何] 请求删帖

本帖最后由 26897 于 2017-8-3 15:14 编辑

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kuing

2^#

发表于 2017-7-29 18:38 | 只看该作者

懒得啰嗦太多，直接套公式即可，反正计算一点也不复杂。

下面将抛物线一般化为 $y=mx^2$, $m>0$，设三顶点坐标为 $(x_i,y_i)$, $i=1$, $2$, $3$，三边长为 $a$, $b$, $c$，面积为 $S$，外接圆半径为 $R$，则
\[S^2=\frac14\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}^2
=\frac{m^2}4\begin{vmatrix}
x_1 & x_1^2 & 1 \\
x_2 & x_2^2 & 1 \\
x_3 & x_3^2 & 1
\end{vmatrix}^2
=\frac{m^2}4(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2,\]
上式最后一个等号是根据范德蒙行列式，对于三边，有
\[a^2=(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2=(x_2-x_3)^2+m^2(x_2^2-x_3^2)^2
=(x_2-x_3)^2\bigl( 1+m^2(x_2+x_3)^2 \bigr),\]
另外两边同理，故
\[R^2=\left( \frac{abc}{4S} \right)^2=\frac{\bigl( 1+m^2(x_1+x_2)^2 \bigr)\bigl( 1+m^2(x_1+x_3)^2 \bigr)\bigl( 1+m^2(x_2+x_3)^2 \bigr)}{4m^2},\]
所以显然有 $R>1/(2m)$，当 $x_i$（互不相等地）都趋向 $0$ 时 $R\to1/(2m)$，又显然可以无穷大，从而 $R$ 的取值范围就是 $\bigl(1/(2m),+\infty\bigr)$。

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kuing

3^#

发表于 2017-7-31 00:39 | 只看该作者

回复 3# 26897

非要说其他的几何意义，我只能说和曲率半径有关了。

上面的结果 $1/(2m)$ 就是 $y=mx^2$ 上的点的曲率半径的最小值。

如果将抛物线改成椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$（$a>b>0$），由于椭圆上的点的曲率半径的范围为 $[b^2/a,a^2/b]$，那么 $R$ 的范围很可能就是 $(b^2/a,a^2/b)$。

之所以只是说可能，一是因为我还没证实，二是不具备一般性，比如说换成双曲线就不成立，因为双曲线的最小曲率半径有可能大于 $a$，但 $R$ 显然可能趋向 $a$。

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