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请教

$\int{\frac{e^x}{x}}dx$=
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印象中是没初等表达式的吧

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    我就是不知道

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是的,这个没有初等函数的表示,网友还证明过这个,发上来:
假设积分结果能用初等函数表示,则由 Liouville 第三定理知其必为$R(x)e^x+C$,其中$R(x)$是有理函数而$C$是常数。求导有$\frac{1}{x}=R'(x)+R(x)e^x$,让$R(x)=\frac{P_1}{P_2}$其中$P_1,P_2$是互素多项式,代入得
\[P_2[\frac{1}{x}P_2-P_1'-P_1]=-P_1P_2'\]

\[P_2[P_2-xP_1'-xP_1]=-xP_1P_2'\]

假设$\deg(P_2) \ge 1$则其有$r$阶零点$c$,则$P_2'$有$r-1$阶零点$c$。当$c \neq 0$时左边有至少$r$阶零点$c$,但因为$\gcd(P_1,P_2) = 1$,所以$P_1(c) \neq 0$,因此右边有至多$r-1$阶零点$c$,矛盾。所以必有$c = 0$,于是$P_2 = x^rP_3$其中$P_3(0) \neq 0$,再代入得
\[P_3(x^rP_3-xP_1'-xP_1) = -P_1(xP_3'+rP_3)\]

$x = 0$是左边的至少一阶零点,但同样因为$\gcd(P_1,P_2) = 1$,因此$P_1(0) \neq 0$,所以$x = 0$不是右边的零点。于是必有$\deg(P_2) = 0$,不妨设$P_2 = 1$,代入有$1-xP_1'-xP_1 = 0$,即
\[xP_1'+xP_1 = 1\]
显然$\deg(xP_1) \ge 1 > 0 = \deg(1)$,矛盾。于是积分不能是初等函数。

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还有几个椭圆积分,谁能介绍一下?

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