我也来凑个热闹,好久没打过字了,代码有些生疏:
易知$f(x)=(x-1)^2+a(e^{x-1}+e^{1-x})-1$,故$f(1+x)=f(1-x)$,图像关于$x=1$对称.
①当$a>\dfrac12$时,$f(x)=(x-1)^2+a(e^{x-1}+e^{1-x})-1\geqslant2a-1>0$,此时函数$f(x)$没有零点,排除$D$;
②当$a=\dfrac12$时,$f(x)=(x-1)^2+a(e^{x-1}+e^{1-x})-1\geqslant2a-1=0$,当且仅当$x=1$时取等号,此时函数$f(x)$恰有唯一零点$x=1$,选项$C$可以;
③当$0<a<\dfrac12$时,$f(1)=2a-1<0$,$f(+\infty)=+\infty$,故函数$f(x)$时在$(1,+\infty)$至少有一个零点,根据对称性,$f(x)$时在$(-\infty,1)$至少有一个零点,故此时至少有两个零点,故排除$B$;
④当$a<0$时,$f(1)=2a-1<0$,若存在$t>1$,使得$f(t)>0$,则函数$f(x)$时在$(1,t)$至少有一个零点,根据对称性,$f(x)$时在$(2-t,1)$至少有一个零点,故此时$f(x)$至少有两个零点(或者叫偶数个零点),
若不存在上述的$t$值,则$f(x)<0$恒成立,函数$f(x)$没有零点,故排除$A$。
综上所述,选择$C$. |