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[函数] 2017年理科 课标全国卷III 第11题 有唯一零点

2017年理科 课标全国卷III 第11题


已知函数$f(x) = x^2 - 2x + a(\mathrm{e}^{x - 1} + \mathrm{e}^{ - x + 1})$有唯一零点,则$a = $(      )
  A.$ - \frac 12$        B.$\frac 13$             C.$\frac 12$         D.1
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回复 1# isee

令$x-1=iy$则$f(x)=-1-y^2+2a\cos y=f(y)$。也就是让$y^2+1$和$2a\cos y$只有一个交点,这两个都是偶函数,所以交点是对称的,总是偶数个交点,除了当$y=0$时交于点$(0,1)$的情况是两个交点重合,所以必须是$y=0$,也就是$2a\cos0=1$,$a=\frac{1}{2}$。

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回复  isee

令$x-1=iy$则$f(x)=-1-y^2+2a\cos y=f(y)$。也就是让$y^2+1$和$2a\cos y$只有一个交点,这两 ...
abababa 发表于 2017-6-9 21:34



    这方法高等。。。。。

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本帖最后由 色k 于 2017-6-9 23:37 编辑

回复 3# isee

我倒是不觉得,因为其实并不需要 $i$,直接 $f(x+1)=x^2-1+a(e^x+e^{-x})$,一样也是偶函数的事,代 $x=0$ 得 $a=1/2$。

严格来说还要检验,当然,在考场上自然就不管了。

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受启发,想到,直接换元(将$\mathrm{e}$的指数变简单)x-1=t,结果楼上就有平移结果了。。。。。。。

抛砖引玉了。。。。

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平移点在$(1,-1)$处,所以$a=-\dfrac12$

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若按常规解,可能是这样的:
全国卷3第11题.PNG
2017-6-10 07:28


不过,-1<a<0时,太复杂了,不知道如何讨论是好。

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回复 4# 色k

嗯,确实不需要变成复数。因为最近在看那个三角形内一点,求角度的各种题,用角元塞瓦定理后变成三角方程,正余弦都可以化成指数形式,之后四则运算就简单多了,只是次数变高了。所以一看这题指数上是对称的就想到化成三角函数了。

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回复 8# abababa
虽然不需要变成复数,但是让我们开了眼界,你突破了一个禁区(敢想别人之不敢想),并且能活学活用,这就是你的意义和价值之所在

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本帖最后由 乌贼 于 2017-6-10 15:54 编辑

回复 9# 其妙
问题是考场上谁会$e^{iy}+e^{-iy}=2\cos y$

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回复 10# 乌贼

这和“开眼界”不矛盾

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回复 11# 色k

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我也来凑个热闹,好久没打过字了,代码有些生疏:

易知$f(x)=(x-1)^2+a(e^{x-1}+e^{1-x})-1$,故$f(1+x)=f(1-x)$,图像关于$x=1$对称.

①当$a>\dfrac12$时,$f(x)=(x-1)^2+a(e^{x-1}+e^{1-x})-1\geqslant2a-1>0$,此时函数$f(x)$没有零点,排除$D$;

②当$a=\dfrac12$时,$f(x)=(x-1)^2+a(e^{x-1}+e^{1-x})-1\geqslant2a-1=0$,当且仅当$x=1$时取等号,此时函数$f(x)$恰有唯一零点$x=1$,选项$C$可以;

③当$0<a<\dfrac12$时,$f(1)=2a-1<0$,$f(+\infty)=+\infty$,故函数$f(x)$时在$(1,+\infty)$至少有一个零点,根据对称性,$f(x)$时在$(-\infty,1)$至少有一个零点,故此时至少有两个零点,故排除$B$;

④当$a<0$时,$f(1)=2a-1<0$,若存在$t>1$,使得$f(t)>0$,则函数$f(x)$时在$(1,t)$至少有一个零点,根据对称性,$f(x)$时在$(2-t,1)$至少有一个零点,故此时$f(x)$至少有两个零点(或者叫偶数个零点),

若不存在上述的$t$值,则$f(x)<0$恒成立,函数$f(x)$没有零点,故排除$A$。

综上所述,选择$C$.

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最后一段有点小小的瑕疵,但大意大家是明白的,不想改了

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