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[几何] 2017年理科 课标全国卷I 第16题 体积最大

2017年理科 课标全国卷I 第16题(若有疑问,请以图片为准)

如图,圆形纸片的圆心为$O$,半径为$5 \mathop{\rm cm}$,该纸片上的等边三角形$ABC$的中心为$O$,$D$、$E$、$F$为圆$O$上的点,$\triangle DBC$,$\triangle ECA$,$\triangle FAB$分别是一$BC$,$CA$,$AB$为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以$BC$,$CA$,$AB$为折痕折起$\triangle DBC$,$\triangle ECA$,$\triangle FAB$,使得$D$、$E$、$F$重合,得到三棱锥.当$\triangle ABC$的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:$\mathop{\rm cm}\nolimits ^3$)的最大值为_______.




不是纯几何,实是函数最值,设三角形$ABC$的外接圆的半径为$2r$,注意折叠后的三棱锥的高即$\sqrt{EA^2-4r^2}$,……,结果?还没算,哈哈。。。。。

=

继续算完,连接OE交AB于G,连接OA,于是$EA^2-4r^2=(5-r)^2+3r^2-4r^2=25-10r$,所求三棱锥的体积为$$V=\frac 13 \cdot\frac {\sqrt 3}4(2\sqrt 3 r)^2\cdot \sqrt{25-10r}=\sqrt 3\sqrt {r\cdot r\cdot r \cdot r (10-4r)\cdot \frac 52}.$$

由均值不等式,可知当$r=2$时,有最大值,反代回,有$V_{\max}=4\sqrt{15}$.
I-16.jpg
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这图片版的排版咋看起来并不专业啊

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回复 2# kuing


    都注意这些了,说明这题是多么没有吸引力。。。

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本帖最后由 走走看看 于 2017-11-8 21:41 编辑

回复 1# isee

如果等边三角形ABC的边长增大,D、E、F不是从圆中跑出来了吗?如果小的话,不是碰不上圆吗?怎么还有最大最小的说法呢?有点不明白。

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回复 4# 走走看看


    三个含虚线的的三角形只是等腰三角形,非正三角形。

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回复 5# isee


    明白了,谢谢!

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计算棱锥的高,也可以从"OF垂直平分AB"这个角度看,效果一样.
不知道有没有别的办法,不然看不出这题在干啥.这么长一个题目.

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