不等式之路：从入门到放弃 - 初等数学讨论 - 悠闲数学娱乐论坛(第2版)

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发表于 2017-6-15 16:58 | 只看该作者

回复 20# zhcosin

这几何意义怎么来的？$PA=\sqrt{b^2-bc+c^2}$ 吗？

22^#

发表于 2017-6-15 18:08 | 只看该作者

本帖最后由 zhcosin 于 2017-6-15 18:09 编辑

回复 21# kuing
$PA=a$, $PB=b$, $PC=c$呀
恩，似乎用通常习惯$a,b,c$表示三边不太一致。
我还没证出来。。。。

23^#

发表于 2017-6-15 18:27 | 只看该作者

回复 kuing
$PA=a$, $PB=b$, $PC=c$呀
恩，似乎用通常习惯$a,b,c$表示三边不太一致。
我还没证出来。。。 ...
zhcosin 发表于 2017-6-15 18:08

那样的话，$AB=\sqrt{a^2+ab+b^2}$ 啊

hejoseph

24^#

发表于 2017-6-16 08:47 | 只看该作者

如果想构造几何模型，那就构造三棱锥 $P\text{-}ABC$。

25^#

发表于 2017-6-16 11:13 | 只看该作者

回复 24# hejoseph

对，我搞错符号了

26^#

发表于 2017-6-16 14:23 | 只看该作者

回复 20# zhcosin

搞成60度三棱锥，几何意义也不是 $PA \cdot BC + PB \cdot CA + PC \cdot AB \leqslant AB^2+BC^2+CA^2$，而是 $PA \cdot BC + PB \cdot CA + PC \cdot AB \leqslant PA^2+PB^2+PC^2$。

注意由 $AB=\sqrt{a^2-ab+b^2}$ 有 $AB^2+BC^2+CA^2=2(a^2+b^2+b^2)-(ab+bc+ca)$，它大于等于 $a^2+b^2+c^2$，亦即有
\[PA \cdot BC + PB \cdot CA + PC \cdot AB \leqslant PA^2+PB^2+PC^2\leqslant AB^2+BC^2+CA^2,\]
然并卵。

至于原不等式的证明，其实是简单的，提示：用CS即变成四次schur。

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

27^#

发表于 2017-6-16 16:30 | 只看该作者

回复 26# kuing
擦，咋老是犯错，估计近期营养不良。
我说怎么证不出来呢，无论是均值还是柯西，一放就过头，原来又是舒尔作怪，找时间跟舒尔亲密接触下。

28^#

发表于 2017-6-20 16:29 | 只看该作者

题目设$a,b,c \geqslant 0$，求证
\[ a\sqrt{b^2-bc+c^2}+b\sqrt{c^2-ca+a^2}+c\sqrt{a^2-ab+b^2} \leqslant a^2+b^2+c^2 \]
zhcosin 发表于 2017-6-15 14:22

还是写个过程，顺便给个刚想到的证明，尽管比较麻烦。

证法一：由CS
\[\left(\sum a\sqrt{b^2-bc+c^2}\right)^2\leqslant(a+b+c)\sum a(b^2-bc+c^2),\]
而
\[(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)\sum a(b^2-bc+c^2) = \sum a^2(a-b)(a-c)\geqslant0,\]
即得证。

证法二：由对称性不妨设 $c=\min\{a,b,c\}$，则有
\[\sqrt{b^2-bc+c^2}-b=\frac{c(c-b)}{\sqrt{b^2-bc+c^2}+b}\leqslant \frac{c(c-b)}{2b}=\frac{c^2}{2b}-\frac c2,\]
得到
\[\sqrt{b^2-bc+c^2}\leqslant b+\frac{c^2}{2b}-\frac c2,\]
同理
\[\sqrt{c^2-ca+a^2}\leqslant a+\frac{c^2}{2a}-\frac c2,\]
于是
\begin{align*}
\LHS&\leqslant a\left( b+\frac{c^2}{2b}-\frac c2 \right)+b\left( a+\frac{c^2}{2a}-\frac c2 \right)+c\sqrt{a^2+ab+b^2} \\
&=2ab+\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba \right)+c\left( \sqrt{a^2+ab+b^2}-\frac{a+b}2 \right) \\
&=2ab+\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba \right)+\frac{\frac34c(a-b)^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{a+b}2} \\
&\leqslant 2ab+\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba \right)+\frac{3c(a-b)^2}{4(a+b)},
\end{align*}
而由 $c=\min\{a,b,c\}$ 有
\begin{align*}
& a^2+b^2+c^2-\left( 2ab+\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba \right)+\frac{3c(a-b)^2}{4(a+b)} \right) \\
={}&(a-b)^2-\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba-2 \right)-\frac{3c(a-b)^2}{4(a+b)} \\
={}&(a-b)^2\left( 1-\frac{c^2}{2ab}-\frac{3c}{4(a+b)} \right) \\
\geqslant {}& (a-b)^2\left( 1-\frac12-\frac38 \right) \\
={}&\frac18(a-b)^2,
\end{align*}
这样，我们得到加强命题：设 $a$, $b$, $c \geqslant 0$ 且 $c=\min\{a,b,c\}$，则有
\[ a\sqrt{b^2-bc+c^2}+b\sqrt{c^2-ca+a^2}+c\sqrt{a^2-ab+b^2} \leqslant a^2+b^2+c^2 - \frac18(a-b)^2.\]

这个麻烦的证明用的方法其实就是《憋间》14期讲过的“作差有理化放缩法”。

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$