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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 指数分布,伽马分布
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发表于 2017-4-19 13:02
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指数分布,伽马分布
$T_1, T_2, ..., T_n$ 是服从指数分布的独立随机变量,有参数 $\lambda$. 证明:$$P(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ { T }_{ i } <\infty } )=0,$$ 并解释它的含义.
提示:计算 $E[{ e }^{ -\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ { T }_{ i } } }]$.
已经证明了指数随机变量的和服从伽马分布 (gamma distribution), 该如何进一步证明上面的关系式呢?
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发表于 2017-4-20 02:02
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本帖最后由 战巡 于 2017-4-20 02:28 编辑
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1#
opuikl_0
没必要按提示做啊
随便选定一个数,比如就$\lambda>0$好了,令事件$A_i=\{T_i>\lambda\}$有
\[P(A_i)=P(T_i>\lambda)=\int_\lambda^{+\infty}\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}}dx=\frac{1}{e}>0\]
于是有
\[\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{e}=+\infty\]
这里由于$T_i$全部独立,$A_i$事件也都是独立的,由Borel-Cantelli引理可知,有
\[P(\limsup_n A_n)=1\]
也就是说事件$A_n$发生的次数为无穷次的概率为$1$,即$T_i>\lambda$的次数为无穷次几乎必然发生,因此
\[P(\sum_{i=1}^{\infty}T_i=\infty)=1\]
\[P(\sum_{i=1}^{\infty}T_i<\infty)=0\]
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发表于 2017-4-20 02:09
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本帖最后由 战巡 于 2017-4-20 02:23 编辑
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1#
opuikl_0
附:Borel-Cantelli引理:
令$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$为一个事件序列
1、若
\[\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)<\infty\]
则
\[P(\limsup_n A_n)=0\]
2、若$A_n$全部为独立事件且
\[\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)=\infty\]
则
\[P(\limsup_n A_n)=1\]
注意这里面$\limsup_n A_n$也可写作$A_n i.o.$,i.o.为infinitly often,发生无穷多次
此引理的第一部分对其他测度也成立,不一定非要是概率测度
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发表于 2017-4-20 12:29
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战巡
多谢!
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