[数论] 绝对素数的构成是否必不超过三个数字

如果一个素数的各位数字经过任意交换后仍是素数，则称此数为绝对素数。问绝对素数是否不能由多于三个不同的数字构成。

显然$0,2,4,6,8,5$都能排除，因为把这些数字换到末位就变成合数了，剩下$1,3,7,9$这四个。看到网上的一些证明，只证明到$1397$是合数就说绝对素数不能由超过三个不同数字构成，觉得不对，因为可能是$31397$这种五位数（虽然这数变成$13379$后也是合数）或更多位数。

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abababa

2^#

发表于 2017-4-15 21:10 | 只看该作者

回复 1# abababa

网友刚才给出证明了。
若一个数含有全部的$1,3,7,9$这些数字，把这些数全排在末尾。设此数为$n = c\cdot10^5+k$，其中$k\in\{7931, 1793, 9137, 7913, 7193, 1937, 7139\}$，则$k$通过模$7$的完全剩余系。显然$c\cdot10^5 \equiv 0\to6\pmod{7}$.假设$c\cdot10^5\equiv1\pmod{7}$，则选择$k\equiv\overline{1}\equiv6\pmod{7}$，即$k = 7139$，于是$7\mid n$，其余的类似，总有$7\mid n$，因此$n$是合数。

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