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从$x^2+y^2-4x-2y+1=0$变换到$x'^2+9y'^2-2x'=0$

本帖最后由 isee 于 2017-4-9 11:04 编辑

请教,这个变换是怎样的,有几何意义么?

求曲线$x^2+y^2-4x-2y+1=0$变成曲线$x'^2+9y'^2-2x'=0$的变换是_______.

这个结果,我能从形式上硬解出来$\left\{\begin{aligned}x'&=\frac 12x,\\y'&=\frac {y-1}6\end{aligned}\right.$但想不明白其中的变换过程。
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回复 1# isee

就是平移和伸缩吧,加减是平移,系数是伸缩。

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回复  isee

就是平移和伸缩吧,加减是平移,系数是伸缩。
abababa 发表于 2017-4-9 11:08


结合这题说下具体过程吧,谢谢。

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回复  isee

就是平移和伸缩吧,加减是平移,系数是伸缩。
abababa 发表于 2017-4-9 11:08


这样子么?

先向下平移1个单位,然后,先把横坐标压缩为原来的一半(纵坐标不变),再将纵坐标压缩为原来的1/6(横坐标不变)。

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回复 3# isee

直接按方程解释就行了啊,按你解出的那个方程组,就是把原来图形上点$A$的横坐标变成原来的$\frac{1}{2}$,纵坐标先向下平移1,再变成$\frac{1}{6}$。如果只有平移并且伸缩系数都相等,那原来的图是个圆,变换后的图还是圆,例如$x'=\frac{1}{2}x,y'=\frac{y-1}{2}$,这个方程把原来的圆还变成圆。现在伸缩系数不相等,一个是$\frac12$一个是$\frac16$,所以应该变成椭圆,$y$缩得多一点,所以椭圆方程里应该是$a$长$b$短。

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回复  isee

直接按方程解释就行了啊,按你解出的那个方程组,就是把原来图形上点$A$的横坐标变成原来的$\ ...
abababa 发表于 2017-4-9 11:21

谢谢,明白了。

变换好像有矩阵表示的吧?能写成矩阵形式么》

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回复 6# isee

这个就是把方程组写成矩阵,直接就能写出来,伸缩变换时矩阵的副对角线都是$0$,平移就是加一个矩阵。
\[\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0\\
0 & \frac{1}{6}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\-\frac{1}{6}\end{bmatrix}\]

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回复  isee

这个就是把方程组写成矩阵,直接就能写出来,伸缩变换时矩阵的副对角线都是$0$,平移就是加一 ...
abababa 发表于 2017-4-9 13:11



    多谢,知道方向了,有空时上图书馆查查相应资料去

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