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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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高等数学讨论
» 求函数$f(x)=(1-\dfrac1x)\ln x$的$n$阶导数
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发表于 2017-4-8 23:04
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求函数$f(x)=(1-\dfrac1x)\ln x$的$n$阶导数
如题
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妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!
kuing
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发表于 2017-4-9 00:06
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也没啥特别的吧,照代$n$阶导数的莱布尼茨公式去算就是了,最终结果也不是太好看(没算错的话得带个调和级数),
出这题莫非和你上次的这题
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4492
有关系?
PS、贴图我删掉了,这里绝对没人不知道n阶导数是什么。
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其妙
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发表于 2017-4-9 21:48
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kuing
没什么大的关系。答案写成递推公式也可以,有没有过程?
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发表于 2017-4-9 22:21
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其妙
那出这题是啥用意啊,毕竟过程毫无技术含量,纯粹套公式化简
\begin{align*}
\left( \frac{\ln x}x \right)^{(n)}
&=\sum_{k=0}^nC_n^k(x^{-1})^{(n-k)}(\ln x)^{(k)} \\
&=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}\ln x+\sum_{k=1}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} (-1)^{n-k}\frac{(n-k)!}{x^{n-k+1}} (-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^k} \\
&=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}\ln x+(-1)^{n-1}n!\sum_{k=1}^n\frac1k\cdot \frac1{x^{n+1}},
\end{align*}
所以
\begin{align*}
f^{(n)}(x)&=(\ln x)^{(n)}-\left( \frac{\ln x}x \right)^{(n)} \\
&=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}
-(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}\ln x-(-1)^{n-1}n!\sum_{k=1}^n\frac1k\cdot \frac1{x^{n+1}} \\
&=\frac{(-1)^{n-1}n!}{x^{n+1}}\left( \frac xn+\ln x-\sum_{k=1}^n\frac1k \right).
\end{align*}
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2017-4-9 23:09
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kuing
对你来说是毫无技术含量,
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发表于 2017-4-9 23:25
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不过是这样的题目才有点意义
:
2017-4-9 23:25
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!
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发表于 2017-4-12 17:51
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只看该作者
不过是这样的题目才有点意义:
其妙 发表于 2017-4-9 23:25
你说有点意思,学生就要吐了。
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