[组合] 空间中自原点引出的两两夹角不小于$\frac{\pi}{4}$的射线

空间（三维）中自原点（空间直角坐标系的原点）引出的两两夹角不小于$\frac{\pi}{4}$的射线，最多能有几条。

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abababa

2^#

发表于 2017-3-19 13:09 | 只看该作者

回复 1# abababa

网友告诉我他证明了不超过26条（证明过程我暂时没看到），但他没给出26条是否是最多的。

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realnumber

3^#

发表于 2017-3-21 23:07 | 只看该作者

本帖最后由 realnumber 于 2017-3-21 23:12 编辑

回复 2# abababa

这样粗略估计也是26条
半径为1的球面面积为 $4\pi$,侧面顶角45°，侧棱1的三棱锥底面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}(2-\sqrt{2})$.这2个数据相除是49.5，球面上被切出的"三角"区域一定略大于三棱锥底面，所以取49.
接下来考虑球面上多面体问题。满足F-E+V=2,F=49,E=49×3÷2，得V=26.5
所以$V\le 26$,这个显然太粗糙了，如果球面三角区域面积更精确些，球面也不会恰好分割成三面角都45度的区域。所以实际数据应该远比26小

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abababa

4^#

发表于 2017-3-24 09:20 | 只看该作者

回复 3# realnumber

和网友的方法差不多，都是用面积估计的，网友用的是圆锥，截出来的是球冠。
假设能引出$27$条两两夹角不小于$\frac{\pi}{4}$的射线。

以$O$为顶点，以每条射线为轴，作母线与轴夹角为$\frac{\pi}{8}$的圆锥。由于任意两射线夹角不小于$\frac{\pi}{4}$，所以这些圆锥不重叠。以$O$为球心作单位球，$27$个圆锥截得$27$个不重叠的球冠，每个球冠面积为$S = 2\pi rh = 2\pi \cdot 1 \cdot (1-1 \cdot \cos\frac{\pi}{8}) = 2\pi(1-\cos\frac{\pi}{8})$，所以总面积为$27S = 54\pi(1-\cos\frac{\pi}{8})$。但单位球表面积为$4\pi r^2 = 4\pi$，而$27S > 4\pi$，矛盾，所以射线不超过$26$条。

感觉上这种方法是能存在26条，但构造出来不知道是不是满足条件。

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