几何解法暂时没想到，倒是想到了推广：
命题：两条相交直线被一动圆所截的两段弦长为不相等的定值，则动圆圆心的轨迹为等轴双曲线。
（注：1楼的题可视为上述命题当其中一个定值为零的特例）
证明：建系使两直线方程为 $y=\pm kx$（$k\ne0$），被动圆所截的两段弦长分别 $2m$, $2n$（$m\ne n$），设圆心为 $(x,y)$，则由点到直线距离公式及勾股定理，有
\[\left( \frac{\abs{kx-y}}{\sqrt{k^2+1}} \right)^2+m^2=\left( \frac{\abs{kx+y}}{\sqrt{k^2+1}} \right)^2+n^2,\]
化简即为
\[xy=\frac{(m^2-n^2)(k^2+1)}{2k},\]
所以为等轴双曲线。 |
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发表于 2017-1-1 23:07
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发表于 2017-1-2 14:49
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