繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 向量最值 $\bm a\cdot\bm c=\bm b\cdot\bm c=3,...$
返回列表
发帖
敬畏数学
发短消息
加为好友
敬畏数学
当前离线
UID
2467
帖子
1074
主题
186
精华
0
积分
5755
威望
2
阅读权限
90
在线时间
370 小时
注册时间
2015-1-14
最后登录
2022-4-24
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2016-12-30 17:08
|
只看该作者
[几何]
向量最值 $\bm a\cdot\bm c=\bm b\cdot\bm c=3,...$
非零向量a,b,c,a*c=b*c=3,|a-b|=|c|=2,则a*b的最小值——————?
收藏
分享
分享到:
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
2
#
发表于 2016-12-30 18:15
|
只看该作者
令 $\bm x=4\bm a-3\bm c$,则由条件易得 $\bm x\cdot\bm c=0=(\bm a-\bm b)\cdot\bm c$,因此
\begin{align*}
\bm a\cdot\bm b&=\bm a\cdot(\bm a+\bm b-\bm a) \\
&=\left( \frac{\bm x+3\bm c}4 \right)^2+\frac{\bm x+3\bm c}4\cdot(\bm b-\bm a) \\
&=\frac{\bm x^2}{16}+\frac94+\frac{\bm x}4\cdot(\bm b-\bm a) \\
&\geqslant \frac{\bm x^2}{16}+\frac94-\frac{\abs{\bm x}}2 \\
&=\left( \frac{\abs{\bm x}}4-1 \right)^2+\frac54 \\
&\geqslant \frac54,
\end{align*}
当 $\bm a=(3/2,1)$, $\bm b=(3/2,-1)$, $\bm c=(2,0)$ 时满足条件且 $\bm a\cdot\bm b=5/4$,所以最小值就是 $5/4$。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
3
#
发表于 2016-12-30 23:17
|
只看该作者
咦,其实为啥不对称地再令 $y=4b-3c$ 呢?对称一下应该会更加简洁,
试过即知
上面的解法可以扔掉了,看下面的:
令 $\bm x=4\bm a-3\bm c$, $\bm y=4\bm b-3\bm c$,则由条件易得 $\bm x\cdot\bm c=\bm y\cdot\bm c=0$,且 $\abs{\bm x-\bm y}=4\abs{\bm a-\bm b}=8$,因此
\[\bm a\cdot\bm b=\frac{\bm x+3\bm c}4\cdot\frac{\bm y+3\bm c}4
=\frac{\bm x\cdot\bm y+36}{16}
\geqslant \frac{-\frac14(\bm x-\bm y)^2+36}{16}=\frac54,\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
其妙
发短消息
加为好友
其妙
当前离线
UID
38
帖子
2386
主题
95
精华
0
积分
12885
威望
4
阅读权限
90
在线时间
1110 小时
注册时间
2013-6-22
最后登录
2022-2-10
4
#
发表于 2017-2-26 00:10
|
只看该作者
建立坐标系,无需动脑,水到渠成的解决此题
TOP
游客
发短消息
加为好友
游客
当前离线
UID
2549
帖子
586
主题
7
精华
0
积分
3961
威望
9
阅读权限
90
在线时间
261 小时
注册时间
2015-12-24
最后登录
2021-3-27
5
#
发表于 2017-2-28 10:49
|
只看该作者
2017-2-28 10:49
TOP
敬畏数学
发短消息
加为好友
敬畏数学
当前离线
UID
2467
帖子
1074
主题
186
精华
0
积分
5755
威望
2
阅读权限
90
在线时间
370 小时
注册时间
2015-1-14
最后登录
2022-4-24
6
#
发表于 2017-2-28 11:05
|
只看该作者
回复
4#
其妙
OK!
TOP
敬畏数学
发短消息
加为好友
敬畏数学
当前离线
UID
2467
帖子
1074
主题
186
精华
0
积分
5755
威望
2
阅读权限
90
在线时间
370 小时
注册时间
2015-1-14
最后登录
2022-4-24
7
#
发表于 2017-2-28 11:06
|
只看该作者
回复
5#
游客
厉害!大牛。。。
TOP
走走看看
发短消息
加为好友
走走看看
当前离线
UID
2706
帖子
707
主题
100
精华
0
积分
4393
威望
3
阅读权限
90
在线时间
1116 小时
注册时间
2017-4-7
最后登录
2023-7-18
8
#
发表于 2017-10-26 09:32
|
只看该作者
本帖最后由 走走看看 于 2022-3-4 22:25 编辑
回复
5#
游客
OA、OB与OC的夹角并不要求相同吗?
TOP
游客
发短消息
加为好友
游客
当前离线
UID
2549
帖子
586
主题
7
精华
0
积分
3961
威望
9
阅读权限
90
在线时间
261 小时
注册时间
2015-12-24
最后登录
2021-3-27
9
#
发表于 2017-10-26 10:25
|
只看该作者
回复
8#
走走看看
只知道AB=2,位置可以上下移动的。
TOP
走走看看
发短消息
加为好友
走走看看
当前离线
UID
2706
帖子
707
主题
100
精华
0
积分
4393
威望
3
阅读权限
90
在线时间
1116 小时
注册时间
2017-4-7
最后登录
2023-7-18
10
#
发表于 2017-10-26 11:03
|
只看该作者
谢谢!
TOP
敬畏数学
发短消息
加为好友
敬畏数学
当前离线
UID
2467
帖子
1074
主题
186
精华
0
积分
5755
威望
2
阅读权限
90
在线时间
370 小时
注册时间
2015-1-14
最后登录
2022-4-24
11
#
发表于 2017-10-26 11:51
|
只看该作者
回复
2#
kuing
太神了!
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]