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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 设$a>b>1$，证明$a^{b^a}>b^{a^b}$

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发表于 2016-12-26 16:45 | 只看该作者

[不等式] 设$a>b>1$，证明$a^{b^a}>b^{a^b}$

如题

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2^#

发表于 2016-12-26 17:29 | 只看该作者

原不等式等价于
\[\frac{\ln a}{\ln b}>\frac{a^b}{b^a}.\]

若 $b^a\geqslant a^b$，则
\[\frac{\ln a}{\ln b}>1\geqslant \frac{a^b}{b^a};\]

若 $b^a<a^b$，对其取对数得
\[\frac{\ln a}{\ln b}>\frac ab,\]
故只需证
\[\frac ab>\frac{a^b}{b^a},\]
令 $a=1+x$, $b=1+y$, $x>y>0$，代入上式可整理为
\[(1+x)^{1/x}<(1+y)^{1/y},\]
熟知 $(1+x)^{1/x}$ 递减，故上式成立，即得证。

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

3^#

发表于 2016-12-26 18:13 | 只看该作者

回复 2# kuing

鼓掌....

4^#

发表于 2016-12-26 22:46 | 只看该作者

回复 2# kuing

厉害！

5^#

发表于 2019-7-14 09:27 | 只看该作者

Mark一下
蒲和平《大学生数学竞赛教程》电子工业出版社
P173 综合题4 第8题

6^#

发表于 2019-7-16 22:30 | 只看该作者

回复 5# 青青子衿

有参考答案吗？

7^#

发表于 2019-7-16 23:41 | 只看该作者

妙不可言，不明其妙，不着一字，各释其妙！

8^#

发表于 2019-7-17 00:02 | 只看该作者

回复 7# 其妙

噢，原来下限还能小到 0，多谢提供

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