证明稠密性

证明对正整数 $n$ 及无理数 $\alpha$，$\{n\alpha\}$ 在 $[0,1]$ 上稠密。

最好有详细过程，谢谢！

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abababa

2^#

发表于 2016-6-17 08:35 | 只看该作者

回复 1# dim

能不能这样证明：
对任意的正整数$n$，对任意的$\varepsilon > 0$，使得只要$n\alpha \in [0,1]$，就存在无理数$\beta$，使得$n\beta\in [n\alpha-\varepsilon,n\alpha+\varepsilon]\cap [0,1]$。假设不存在这样的$\beta$。

因为$n\alpha \in [0,1]$，而$n\alpha$是无理数，所以$n\alpha\in (0,1)$。总能选取一个$n\alpha$的不足近似小数$k_1$，使得$0<k_1<n\alpha$，也总能选取一个$n\alpha$的过剩近似小数$k_2$使得$n\alpha<k_2<1$，选择$\varepsilon=\min(k_1-0,1-k_2)$，$\varepsilon$是有理数。

设$B=[n\alpha-\varepsilon,n\alpha+\varepsilon] \cap (0,1)=[n\alpha-\varepsilon,n\alpha+\varepsilon]$，则显然$\frac{n\alpha-\varepsilon+n\alpha+\varepsilon}{2}=n\alpha\in B,\frac{1}{2}(n\alpha-\varepsilon+n\alpha)=n\alpha-\frac{\varepsilon}{2}\in B$，令$n\beta=n\alpha-\frac{\varepsilon}{2}$，则$\beta=\alpha-\frac{\varepsilon}{2n}$，根据假设，对任意的$\varepsilon>0$它都是有理数，因为$\alpha$是无理数而$\varepsilon$是有理数，矛盾。所以一定存在这样的$\beta$。根据定义就得出稠密性。

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dim

3^#

发表于 2016-6-18 01:19 | 只看该作者

回复 2# abababa

谢谢，你是不是漏了小数函数的那个大括号？看得有点晕。。。请问你会用抽屉原理来给出一个不依赖于实数的十进制表示的证明吗？

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abababa

4^#

发表于 2016-6-18 21:07 | 只看该作者

我明白了，楼主的这个$\{n\alpha\}$，其实是表示一个数的小数部分，我错当成集合了。那这样这个证明我以前见网友做过。

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dim

5^#

发表于 2016-6-19 01:28 | 只看该作者

回复 4# abababa

谢了哈！

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川木

6^#

发表于 2016-6-20 07:07 | 只看该作者

为了避免歧义, 题主应把命题重新叙述为: 对任意无理数 a, 当 n 遍历正整数时, {na} 在 [0,1] 上稠密.

证明:
首先易见, 只需证明对任意正整数 m, 存在整数 n 使得 0<{na}<1/m. 将 [0,1] 分成小段 [0,1/m), [1/m,2/m),..., [(m-1)/m,1]. 则由抽屉原理知 {a}, {2a},... 中至少有两者位于同一小段, 故存在整数 s 与 r 使得 0<{sa}-{ra}<1/m. 取 n=s-r 即可.

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