回复 6# isee
题目看得明白,只是还没证出来,之前就思考过,而且已经转化到一个命题上,还用软件试验过。
那,我就写写一些想法吧。
首先不难想到,若记 $\alpha$ 的循环节内的数字的几何平均数为 $G$,则当 $s\to\infty$ 时 $\sqrt[ s ]{f_p(s)}\to G$,由 $s$, $t$ 的任意性,如果命题成立的话,$G$ 应当能插在中间,即存在 $p$, $q$ 使 $\sqrt[ s ]{f_p(s)}\leqslant G\leqslant \sqrt[ t ]{f_q(t)}$ 恒成立。
其次不难想到,只要考查一个循环节的长度就够了,因此,如无意外的话,就只要证明如下命题:
待证命题:任意给定项数为 $n$ 的正数数列 $\{a_k\}$,设 $\{b_k\}$ 为 $\{a_k\}$ 的任意轮换(包括 $\{a_k\}$ 自身),令 $c_k=\sqrt[k]{b_1b_2\cdots b_k}$,则一定存在某个 $\{b_k\}$ 使 $\max\{c_k\}=c_n$,也存在某个 $\{b_k\}$ 使 $\min\{c_k\}=c_n$。
举个栗子,以我的QQ号为例,给定数列 $\{2,4,9,5,3,3,1,6,4\}$,在九个 $\{b_k\}$ 当中,$\{3,3,1,6,4,2,4,9,5\}$ 使 $\max\{c_k\}=c_9$,$\{6,4,2,4,9,5,3,3,1\}$ 使 $\min\{c_k\}=c_9$。
作指数代换可知与上述命题等价的命题为:
待证命题 $'$:任意给定项数为 $n$ 的实数数列 $\{a_k\}$,设 $\{b_k\}$ 为 $\{a_k\}$ 的任意轮换(包括 $\{a_k\}$ 自身),令 $c_k=(b_1+b_2+\cdots +b_k)/k$,则一定存在某个 $\{b_k\}$ 使 $\max\{c_k\}=c_n$,也存在某个 $\{b_k\}$ 使 $\min\{c_k\}=c_n$。
就是不知怎么证,用软件随机生成一些数来验证都是成立的。
Mathematica验证代码:- a = Table[RandomReal[], {6}]
- n = Length[a];
- j = 0;
- Do[{
- i = 1;
- Do[{
- b[i] = a[[Mod[i + j - 1, n] + 1]];
- i++
- }, {n}];
- cc[j] = Table[N[Product[b[k], {k, 1, m}]^(1/m)], {m, 1, n}];
- j++
- }, {n}]
- Table[ListLinePlot[cc[k]], {k, 0, n - 1}]
复制代码 生成 $\{c_k\}$ 的走向图,刚才运行的一次结果为:
可以看出第2和第5个图就符合最后一项最大和最小。 |