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这里开始研究古怪的级数……

我以前手贱去写代码估算这两个东西:
$$S_n=-\underset{x\in [0,2\pi)}{\min} \sum_{k=1}^{n} \sin(k^2x)$$
$$C_n=-\underset{x\in [0,2\pi)}{\min} \sum_{k=1}^{n} \cos(k^2x)$$
算了十几个后,除了知道这两个东西大致与$n$同阶,就没有什么成果了。
现在转而考虑这样的级数:
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k^2x)}{k^\alpha}$$
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k^2x)}{k^\alpha}$$
问题是:
当$\alpha$分别满足什么条件时,这两个级数分别收敛呢?
猜测$\alpha=1$不符合,不知道对不对。
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本帖最后由 血狼王 于 2016-6-16 02:32 编辑

另一个问题:
$$\sum_{p为素数}^{2\leq p\leq N} \ln p$$
的阶到底是什么?($N$为趋于无穷大的正整数)
我猜测是$O(N)$(编代码模拟过了),可是找不到前人的证明,不知道是不是。

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本帖最后由 Czhang271828 于 2021-1-13 20:09 编辑
另一个问题:
$$\sum_{p为素数}^{2\leq p\leq N} \ln p$$
的阶到底是什么?($N$为趋于无穷大的正整数)
我 ...
血狼王 发表于 2016-6-16 02:31


这是素数定理的等价表述,你描述的猜想就是$\displaystyle{\limsup_{x\to\infty}\dfrac{\vartheta(x)}{x}<\infty}$。

最近给刚做过报告,silde里证明了$\lim_{x\to\infty}\dfrac{\vartheta(x)}{x}=1$,证明涉及单复变函数的基本知识。

————————
由于涉及个人信息,只发了初稿,但证明思路已经很完整了。
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二更:新链接
无钱佮歹看、无样佮歹生、无汉草佮无文采、无学历佮无能力、无高度无速度无力度共闲无代记。(闽南话)
口号:珍爱生命,远离内卷。

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