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二阶导函数$f''(x)$与极限

二阶导函数$f''(x)$与极限$\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}$是否相等?
即$f''(x)=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}$是否成立?为什么?
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回复 1# weigang99888


并不完全相等,仅在函数连续的情况下可以保证相等
连续情况很容易证明

不连续的话参考以下反例:
\[f(x)=\begin{cases} 1,  x>0 \\0,  x=0\\-1,  x<0\end{cases}\]
此时在$x=0$这个点显然是不可导的,也没有二阶导数
但却有
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)+f(0-h)-2f(0)}{h^2}=0\]

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在连续的情况下如何证明?谢谢!

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回复 3# weigang99888


这还要问?

洛必达法则得
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}=f''(x)\]

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回复 4# 战巡

用洛医院的话,仅有连续的条件够吗?

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回复 5# kuing


连续且二阶可导
我是懒得讲那么多

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thx

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\[\led
f(x+h)&=f(x)+hf'(x)+\frac12h^2f''(x)+o(h^2),\\
f(x-h)&=f(x)-hf'(x)+\frac12h^2f''(x)+o(h^2)
\endled
\riff
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=\lim_{h\to0}\frac{h^2f''(x)+o(h^2)}{h^2}=f''(x)\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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太精彩啦!

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