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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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高等数学讨论
» 二阶导函数$f''(x)$与极限
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weigang99888
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发表于 2016-2-25 20:15
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二阶导函数$f''(x)$与极限
二阶导函数$f''(x)$与极限$\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}$是否相等?
即$f''(x)=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}$是否成立?为什么?
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发表于 2016-2-25 23:30
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weigang99888
并不完全相等,仅在函数连续的情况下可以保证相等
连续情况很容易证明
不连续的话参考以下反例:
\[f(x)=\begin{cases} 1, x>0 \\0, x=0\\-1, x<0\end{cases}\]
此时在$x=0$这个点显然是不可导的,也没有二阶导数
但却有
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)+f(0-h)-2f(0)}{h^2}=0\]
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weigang99888
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发表于 2016-2-26 08:28
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在连续的情况下如何证明?谢谢!
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发表于 2016-2-28 02:51
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weigang99888
这还要问?
洛必达法则得
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}=f''(x)\]
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kuing
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发表于 2016-2-28 03:15
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战巡
用洛医院的话,仅有连续的条件够吗?
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发表于 2016-2-28 10:21
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kuing
连续且二阶可导
我是懒得讲那么多
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weigang99888
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发表于 2016-2-28 10:23
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发表于 2016-2-28 13:44
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\[\led
f(x+h)&=f(x)+hf'(x)+\frac12h^2f''(x)+o(h^2),\\
f(x-h)&=f(x)-hf'(x)+\frac12h^2f''(x)+o(h^2)
\endled
\riff
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=\lim_{h\to0}\frac{h^2f''(x)+o(h^2)}{h^2}=f''(x)\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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weigang99888
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发表于 2016-2-28 16:59
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