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[几何] 【几何达人进】园K的面积是多少?圆心点坐标是多少?

P1,P2,P3的半径
分别是1,2,3



园K外切于这三个园
请求园K的面积
谢啦!
截图34.jpg
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Soddy 圆
可以参考:http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxs ... 0130407_1153290.htm(《数学空间》2013年第2期封面故事)

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http://mathworld.wolfram.com/LucasCircles.html
http://mathworld.wolfram.com/OuterSoddyCircle.html

第二个网址
就是外SODDY园



尽管,也给出了Outer Soddy Circle
的半径公式
但我看得一脸茫然


不晓得,怎么使用?
若KUING您有空,不妨一阅

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本帖最后由 dodonaomik 于 2016-1-12 14:58 编辑

而且,值得注意的是:


可能,还存在一个这样的问题:


就是说:未必存在一个  outer  soddy  circle
截图07.jpg

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图怎么是内切的呢?

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图怎么是内切的呢?
游客 发表于 2016-1-18 18:15

请不要关注哪个小的   Inner   Soddy   circle

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小的才叫外切!到底外切还是内切?

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回复 7# 游客

主楼里,我说的那么赤露罗啦~~~

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本帖最后由 游客 于 2016-1-23 10:32 编辑

未命名.JPG
2016-1-22 13:01

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目前解答,如下:

没有找到 outer  soddy  circle  ,
只有inner   soddy  circle

___________________________________
另外,在wolfram里面,水平有限搞不出方程组的数值解
截图00.jpg
截图01.jpg

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也就是说,针对主楼,

我算出来,是没有包络这三个互切圆的包络园

只有,被挤压、相切在这三个互切园间的一个小园

___________________________________________________________
我只能做到这一步了,水平有限
不晓得对错

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回复 12# 游客


    非常之感谢啊!
我看了你的ID,顾名思义,以为你到这历史来打酱油的,呵呵~~误解了误解了,
你水平很高!也感谢您的帮助


另外,我是一个没有个性的人!我不喜欢个性不个性,
愿意帮,就帮;不愿意帮,就拉倒~~求个干脆!

就怕那些刁人,水平木有,唧唧歪歪刁个不停的~~~最怕这种人啦,当然,也是极端令人厌烦的这种人
______________________
按照你的方法,
搞了一哈,整理了一哈
111.jpg
222.jpg
444.JPG

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本帖最后由 dodonaomik 于 2016-1-23 14:40 编辑

现在的一个疑问,变成了:

那个inner  soddy  circle的坐标怎么求?【就是指  10楼里面的那个  inner  soddy  circle】

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9楼已经解决了所有的问题。斑竹的链接《数学空间》封面故事里讲的是几何方法,
9楼给的是解析法,整理一下已经是一篇论文了。剩下的全是计算。

里面那个圆就是把(1)、(2)、(3)三式右边的  R-1,R-2,R-3  分别
换成  R+1,R+2,R+3。

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确实要感谢游客的

我是吧1939年最后一道大学入学试题
做了数字具象化处理

做做还有味道一些,原来都是字母,不带感
00.jpg
00-1.jpg
00-2.jpg

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-9-17 15:27 编辑

回复 15# dodonaomik
利用Descartes' theorem(笛卡尔相切圆定理)可以直接求出半径:
三个相切圆的半径分别为\(r_1\)、\(r_2\)、\(r_3\),则三个圆的曲率分别为\(\kappa_1=\frac{1}{r_1}\)、\(\kappa_2=\frac{1}{r_2}\)、\(\kappa_3=\frac{1}{r_3}\),则与三个圆均相切的圆的曲率\(\kappa_4\)满足一个二次方程:
\[(\kappa_1+\kappa_2+\kappa_3+\kappa_4)^2=2(\kappa_1^2+\kappa_2^2+\kappa_3^2+\kappa_4^2)\]
即满足:
\[\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\right)^2=2\left[\left(\frac{1}{r_1}\right)^2+\left(\frac{1}{r_2}\right)^2+\left(\frac{1}{r_3}\right)^2+\left(\frac{1}{r_4}\right)^2\right]\]
此题中:
\[\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{23}{6}\right)^2=2\left[1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{23}{6}\right)^2\right]=\frac{289}{9}\]

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本帖最后由 huing 于 2018-9-17 21:31 编辑

直角阿波罗圆.png
2018-9-17 21:28

当\(P_1P_2P_3\)为直角三角形时,问题就简化了,直接有结论\[R_K=R_1+R_2+R_3\]如图很直观,4个圆心构成矩形,无需文字证明。

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-9-19 20:27 编辑

回复 17# huing
即满足:
\[\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\right)^2=2\left[\left(\frac{1}{r_1}\right)^2+\left(\frac{1}{r_2}\right)^2+\left(\frac{1}{r_3}\right)^2+\left(\frac{1}{r_4}\right)^2\right]\]
\begin{cases}
\displaystyle\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\right)^2=2\left[\left(\frac{1}{r_1}\right)^2+\left(\frac{1}{r_2}\right)^2+\left(\frac{1}{r_3}\right)^2+\left(\frac{1}{r_4}\right)^2\right]\\
\left(r_1+r_2\right)^2+\left(r_1+r_3\right)^2=\left(r_2+r_3\right)^2
\end{cases}
\begin{cases}
\displaystyle r_4=\frac{(r_1+r_2)(r_1+r_3)}{2(3r_1+4r_3+4r_3)}\\
\displaystyle r_4=-(r_1+r_2+r_3)
\end{cases}
此题中:
\begin{gather*}
\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{1+2+3}\right)^2=2\left[1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(-\frac{1}{1+2+3}\right)^2\right]=\frac{25}{9}\\
\left(1+2\right)^2+\left(1+3\right)^2=\left(2+3\right)^2
\end{gather*}
\begin{gather*}
\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2(3+4\times2+4\times3)}{(1+2)(1+3)}\right)^2=2\left[1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2(3+4\times2+4\times3)}{(1+2)(1+3)}\right)^2\right]=\frac{289}{9}\\
\left(1+2\right)^2+\left(1+3\right)^2=\left(2+3\right)^2
\end{gather*}

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类似题:第63页
Power Question 2010: Power of Circular Subdivisions

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笛卡尔定理与一类多圆相切问题.pdf (449.19 KB)
1.jpg
2022-3-4 22:35

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