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证明是 $C^{\infty}$ 函数

函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 定义为:
$$f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{(x-1)^2}}\cdot e^{-\frac{1}{(x+1)^2}} & x \in(-1,1) \\
0 & x\notin (-1,1)\end{cases}$$
若 $a\in \mathbb R^n$,定义函数 $h:\mathbb R^n \to \mathbb R$:
$$h(x)=f(\epsilon^{-1}(x^{1}-a^{1}))\cdot...\cdot f(\epsilon^{-1}(x^{n}-a^{n}))$$
证明 $h$ 是一个 $C^{\infty}$ 函数,i.e.在 $(a^{1}-\epsilon,a^{1}+\epsilon) \times ...\times (a^{n}-\epsilon,a^{n}+\epsilon)$ 上为正,在其余处为 0.
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本帖最后由 hjnk900 于 2015-11-18 11:21 编辑

回复 1# hjnk900

跟这道题相关的,还有一个小问也是做不出...

令 $ \epsilon>0 $. 证明存在函数 $ g: \mathbb R\to [0,1] $ 满足:
当 $ x≤0 $ 时, $ g(x)=0 $,
当 $ 0<x<\epsilon $ 时, $ g(x)\in(0,1) $,
当 $ x≥\epsilon $ 时, $ g(x)=1 $.

提示说考虑: \[ g(x)=\frac{\int_0^xf(y)\rmd y}{\int_0^\epsilon f(y)\rmd y} \]
这里的函数 $ f $ 满足在 $(0,\epsilon)$上为正,在其余处为0.

我尝试了写出了一个貌似满足条件的f函数:$e^\frac{-1}{(x-\epsilon)^2}e^\frac{-1}{x^2}$, 可是还是解不出,求帮忙!

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