yhg1970

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发表于 2015-6-2 16:02 | 只看该作者

[数论] 请教2015年全国联赛湖北预赛第10题

使得(p+1)/2和(p^2+1)/2都是完全平方数的最大质数为___________。

答案为7，不知如何解析？数论菜鸟请教大家。

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kuing

2^#

发表于 2015-6-2 23:47 | 只看该作者

我也是数论菜鸟，不知这样做对不对
设 $p+1=2m^2$, $p^2+1=2n^2$, $m$, $n\inN^+$，两式相减得
\[p(p-1)=2(n-m)(n+m),\]
由于 $p$ 为奇质数，故必有 $p\mid(n-m)$ 或 $p\mid(n+m)$，由此可得
\[p\leqslant n+m=\sqrt{\frac{p^2+1}2}+\sqrt{\frac{p+1}2},\]
两边平方整理得
\[(p-2)(p+1)\leqslant 2\sqrt{(p^2+1)(p+1)},\]
左边恒为正，故再两边平方得
\[(p-2)^2(p+1)\leqslant 4(p^2+1),\]
展开为
\[p^2(p-7)\leqslant0,\]
所以 $p\leqslant7$，当 $p=7$ 时满足题意，故最大质数 $p$ 为 $7$。

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yhg1970

3^#

发表于 2015-6-3 09:44 | 只看该作者

回复 2# kuing

谢谢kuing出手相助。在我看来您是挥洒自如无所不通的，您太谦虚了。

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kuing

4^#

发表于 2015-6-3 11:50 | 只看该作者

回复 3# yhg1970

不是谦虚，数论我确实没研究

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kuing

5^#

发表于 2015-6-3 13:48 | 只看该作者

“2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题”原来是高一的预赛

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活着＆存在

6^#

发表于 2015-6-3 16:34 | 只看该作者

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其妙

7^#

发表于 2015-6-3 19:31 | 只看该作者

see：http://blog.sina.com.cn/s/blog_64b970c60102vvie.html，

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realnumber

8^#

发表于 2015-6-4 10:35 | 只看该作者

本帖最后由 realnumber 于 2015-6-4 10:55 编辑

回复 6# 活着＆存在
n为奇数，设n=2t+1,t为非负整数
可得$k^2+(k+1)^2=(2t+1)^2$,即$k(k+1)=2t(t+1)$
又(k,k+1)=1=(t,t+1),
所以k=t或k=2t或k=t+1或k=2(t+1)------这步似乎错了.先保留着，想想有没改正的可能.
解得t=2,k=3.

1楼p=2k+1,那么p=7

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hejoseph