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[数论] 来自人教群的添上两数码成完全平方数

沪爱好者丁俊毅(8947*****)  0:11:20
求教
QQ截图20141203005025.jpg
2014-12-3 00:50

沪爱好者丁俊毅(8947*****)  0:15:26
这是初中题

设 $A=n(n+1)$, $n\in\mbb N^+$,注意到
\[100n(n+1)=(10n)^2+2\cdot10n\cdot5=(10n+5)^2-25,\]
所以只要添上 $25$ 就行。

假设 $A>12$ 时还能添上另一个数 $x$($0\leqslant x\leqslant 99$, $x\ne 25$)使
\[100n(n+1)+x=m^2,\]
其中 $m\in\mbb N$, $m\ne10n+5$,将其与 $100n(n+1)+25=(10n+5)^2$ 作差得
\[\abs{x-25}=\abs{(m+10n+5)(m-10n-5)},\]
由 $A>12$ 知 $n\geqslant 4$,故
\[m\geqslant \sqrt{2000}>44 \riff m\geqslant 45,\]
因而
\[\abs{x-25}=\abs{(m+10n+5)(m-10n-5)}\geqslant m+10n+5\geqslant 45+40+5=90,\]
这与 $0\leqslant x\leqslant 99$ 相矛盾,所以当 $A>12$ 时只能添 $25$。
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完全平方数。马克

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