[函数] 又一个2014学数学

$关于x的方程\sqrt{ax^2+ax+2}=ax+2恰巧有一个实数解,求a的取值范围$

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realnumber

2^#

发表于 2014-9-23 14:32 | 只看该作者

本帖最后由 realnumber 于 2014-9-23 14:44 编辑

a=0,不符合要求，x=0也不是解，换元ax=t
问题等价于关于t的方程$\frac{t^2}{a}+t+2=(t+2)^2,t+2\ge0$,恰巧有一个实数解.
即\[a=\frac{t^2}{t^2+3t+2},t\ge-2\]
(通过分析它的图象，可得a=-8,0或$a\ge1$时，符合要求.其中a=0舍去.)
令1/t=s
可得\[\frac{1}{a}=1+3s+2s^2,s\le -0.2或s>0\]
通过分析它的图象，可得1/a=-1/8,$0<1/a\le1$时，符合要求..

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走走看看

3^#

发表于 2017-11-15 19:37 | 只看该作者

按常规解答，出现了一点问题，不知为何。

$两边平方，ax^2+ax+2-（ax+2）^2=0,且要求ax+2≥0$
$整理得， (a-a^2)x^2-3ax-2=0，$
$a=0或x=0，显然不合要求。$
$a=1时，x=-\frac{2}{3}，经检验，符合要求。$
$当a≠0且a≠1时，△=a^2+8a=0，解得a=0（舍掉），a=-8，x=\frac{1}{6}，符合条件。$

到了这里，把a>1这个满足条件的范围弄丢了。
到底是怎么丢的？如何找回来，不得而知。

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isee

4^#

发表于 2017-11-15 20:17 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2017-11-15 20:18 编辑

回复 3# 走走看看

中文与公式是分开排版的，仅公式两端加美元符号。

大于等于号是 \geqslant
小于等号号是 \leqslant

===

失根的原因，方程变换不等价

一方面$ax+2\geqslant 0$，另一方面被开方数$ax^2+ax+2\geqslant 0$，这二者等价于$a\geqslant 0,x\geqslant -\dfrac {2}a$.

所以一元方程方程$(a-a^2)x^2-3ax-2=0$，有一根不小于$-\dfrac {2}a$，另一根不大于$-\dfrac {2}a$也是符号题意的，即$$(x_1+\frac 2a)(x_2+\frac 2a) \leqslant 0.$$就少了这个.

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走走看看