[不等式] 请教一个不等式题

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kuing

2^#

发表于 2013-9-24 22:31 | 只看该作者

表面看着吓人，其实是很弱的不等式，首先变形为
\[\left( \frac13\sum\sqrt[3]{\frac1a+\frac2{bc}+a+2b+2c} \right)^3\leqslant\left( \frac2{abc} \right)^3,\]
由幂平均有
\[\left( \frac13\sum\sqrt[3]{\frac1a+\frac2{bc}+a+2b+2c} \right)^3\leqslant\frac13\sum\left( \frac1a+\frac2{bc}+a+2b+2c \right),\]
所以只要证
\[\frac13\sum\left( \frac1a+\frac2{bc}+a+2b+2c \right)\leqslant \left( \frac2{abc} \right)^3,\]
去分母等价于
\[3(abc)^2+2(abc)^2\sum a+5(abc)^3\sum a\leqslant 24,\]
由均值有
\begin{align*}
abc&\leqslant \left( \frac{ab+bc+ca}3 \right)^{3/2}=1, \\
abc\sum a&\leqslant \frac{(ab+bc+ca)^2}3=3,
\end{align*}
故显然得证。

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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其妙

3^#

发表于 2013-9-25 20:23 | 只看该作者

回复 2# kuing

，这个不等式真有用：$x^2+y^2+z^2\geqslant3(xy+yz+zx)$

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