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微分算子$D$和平移变换$S_a$

对任意可导函数$f(x)$,我们知道微分算子$D$(微分变换)有如下性质:$Df(x)=f'(x)$,它有性质$D^n=O$,其中$O$为零算子。
定义平移变换$S_a(a\in R)$有如下性质:$S_af(x)=f(x+a)$,
那么平移变换$S_a$可以写作微分变换D的实系数多项式$g(D)$,试求出多项式$g(D)$。
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妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

能否用较简单的函数(一次、二次)尝试?
对于常函数f(x)=c g(D)=0 (不作用)
一次 ....
感觉和泰勒级数有某种联系。

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$\displaystyle f(a)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} f^{(k)} (x) (a-x)^k$

$\displaystyle f(a+x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} f^{(k)}(x) a^k$

$\displaystyle S_a=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} a^k D^k$

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回复 2# caijinzhi
,感觉灵敏

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回复 3# tommywong

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算子其实对应一种操作,这是一个更加广泛意义上的概念。如果学过线性代数,那么算子就好像是线性代数里面的线性变换。当然,有量子力学知识的人应该明白,微观世界的力学量都是用算符来描述,其实就是算子。既然算子是一个很广泛意义上的一种运算,所以它就具有一定抽象性(这是必须的,算子理论的第一次全面讨论一般都是在泛函分析里面,学数学的应该明白泛函的难度)。所以,判断两个算符是否一样,就是看作用在一个任意函数上面,是否会产生相同的另一个函数(有点像力学的合力与分力的关系)

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精彩!

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精彩!
caijinzhi 发表于 2014-7-6 12:34

题目虽然极其简单,但是结果很精彩,很有韵味!

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这得是解析函数那么死板的函数才行得通

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回复 9# icesheep
嘻嘻,不过这个简单的性质优美吗?还能找一找既简单又优美的数学性质的例子呢?

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