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[几何] 来自人教群昨晚的四棱锥侧面底面垂直最多几对

教师-tan9p(3653*****) 18:00:07
四棱锥的四个侧面和底面这五个面中,两两互相垂直的平面最多有____对?
答案是5对,可这个最多怎么论证?

当时我说:
群管-kuing/shq/fad 18:05:30
侧面最多两个和底面垂直吧
群管-kuing/shq/fad 18:06:36
然后侧面最多三对垂直

但是当时并没给出证明,主要是说起来有点麻烦,就懒得说了,现在补回来吧,反正闲,又可以增加贴子了

首先举一个五对垂直的例子:随便作一矩形 $ABCD$,过 $A$ 作 $AP\perp\text{平面}~ABCD$,那么在四棱锥 $P\text-ABCD$ 的四个侧面和底面中,有两个侧面与底面垂直,而侧面中又有三对垂直,共五对垂直。

下面证明:最多两个侧面和底面垂直;侧面中最多有三对垂直。

为方便叙述,以下记四棱锥底面所在平面为 $\beta$,顺次记四个侧面所在平面为 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$,再记 $\alpha_i\cap \alpha_j=L_{ij}$ 为 $\alpha_i$ 与 $\alpha_j$ 的交线,其中 $\{i,j\}\subsetneqq \{1,2,3,4\}$,由于侧面都过四棱锥的顶点,所以 $L_{ij}$ 都存在。

假设有三个侧面与底面垂直,由于总共只有四个侧面,那么这三个侧面必然相邻,不妨设其为 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$,则由 $\alpha_1\perp \beta$, $\alpha_2\perp \beta$ 可得 $L_{12}\perp \beta$,同理 $L_{23}\perp \beta$,故 $L_{12}\sslash L_{23}$,矛盾,所以最多两个侧面和底面垂直。

假设侧面中有四对垂直而另外两对不垂直,以下设 $\{m,n,p,q\}=\{1,2,3,4\}$,分两类讨论:

(1)若两对不垂直的面中没有公共的面,比如说 $\alpha_m\not\perp \alpha_n$ 且 $\alpha_p\not\perp \alpha_q$,那么四对垂直的就是 $\alpha_m\perp \alpha_p$, $\alpha_p\perp \alpha_n$, $\alpha_n\perp \alpha_q$, $\alpha_q\perp \alpha_m$。
由 $\alpha_m\perp \alpha_p$, $\alpha_p\perp \alpha_n$ 得 $L_{mn}\perp \alpha_p$,由 $\alpha_n\perp \alpha_q$, $\alpha_q\perp \alpha_m$ 得 $L_{mn}\perp \alpha_q$,所以 $\alpha_p\sslash \alpha_q$,矛盾。

(2)若两对不垂直的面中有一个公共的面,比如说 $\alpha_m\not\perp \alpha_n$ 且 $\alpha_m\not\perp \alpha_p$,那么四对垂直的就是 $\alpha_q\perp \alpha_m$, $\alpha_q\perp \alpha_n$, $\alpha_q\perp \alpha_p$, $\alpha_n\perp \alpha_p$。
由 $\alpha_q\perp \alpha_m$, $\alpha_q\perp \alpha_n$ 得 $L_{mn}\perp \alpha_q$,同理可得 $L_{mp}\perp \alpha_q$, $L_{np}\perp \alpha_q$,所以 $L_{mn}\sslash L_{mp}\sslash L_{np}$,又由于 $L_{ij}$ 都通过四棱锥的顶点,所以 $L_{mn}$, $L_{mp}$, $L_{np}$ 都重合,也就是 $\alpha_m$, $\alpha_n$, $\alpha_p$ 都过同一直线,显然矛盾。

综合(1)(2)知侧面中有四对垂直而另外两对不垂直是不可能的,而五对以上就更加不可能,所以侧面中最多有三对垂直。
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你们也来试试看有没有更简洁的论证方法
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回复 1# kuing

总感觉题目中“两两”这两个字去掉似乎好一些!

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回复 3# hongxian
嗯,所以我的标题和论证过程中也没有出现过两两二字。

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