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[函数] 互反方程组的实数解个数问题?

本帖最后由 郝酒 于 2014-6-13 23:01 编辑

$\left\{\begin{matrix}(1+x)(1+{{x}^{2}})(1+{{x}^{4}})=1+{{y}^{7}}\\(1+y)(1+{{y}^{2}})(1+{{y}^{4}})=1+{{x}^{7}}\\\end{matrix}\right.$
By 其妙 原帖

令$f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)$,可以证明$f(x)$是$R$上单调递增函数(证明略,由图像可得),

由于两个方程$f(x)=1+y^7$,$f(y)=1+x^7$均互为反函数(或说隐函数里的反函数),由相关结论知,必定$x=y$。

如若不然,假设$x>y$,则$f(x)>f(y)$,即$1+y^7>1+x^7$,$y>x$,矛盾于假设,

同理,假设$x<y$,也会得到矛盾。故$x=y$ .

于是方程组变为:$f(x)=1+x^7$,显然$x=1$不是解,且$f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=\frac{1−x^8}{1−x}$,

故$\frac{1−x^8}{1−x}=$1+x^7$,即:$ x^7−x=0$,解得$x=0$或$x=−1$,(舍去$x=1$)

所以,原方程组的解为$x=y=0$或$x=y=−1$
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