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[几何] 2014年北京卷理科第19题——椭圆与定直线一点连,垂于$O$

本帖最后由 isee 于 2014-6-9 11:03 编辑

我说录一份试卷吧,结果,现在都没有人传扫描版,或者图片版的北京卷理科卷呢。





发这里的主要原因是督促自己找一下这题的有没有高观下的“解释”。




北京理科第19题,这解析几何跟平时练的形式上差太多。

已知椭圆$C:x^2+2y^2=4$。
(1)求椭圆$C$的离心率;
(2)设$O$为坐标原点,若点$A$在椭圆$C$,点$B$在直线$y=2$上,且$OA\perp OB$,求直线$AB$与圆$x^2+y^2=2$的位置关系,并证明你的结论。


2014bj19t.png
2014-6-9 11:03





略解,(1)跳过,从(2)开始。

(2)既然这么多点,那直接设点,解方程得了——$A(m,n),B(t,2)$,则
\[\vv {OA}\cdot \vv{OB}=0\Rightarrow mt+2n=0\]

\[m^2+2n^2=4\]
这两关系式,先搁这里,备用。

直线$AB$可写为(就是将两点式化为积的形式,避开分母为零,且先不动括号)
\[(n-2)x-(m-t)y+2(m-t)-t(n-2)=0\]

于是原点到直线$AB$的距离的平方为,并部分化简:

\[d^2=\frac{(2(m-t)-t(n-2))^2}{(n-2)^2+(m-t)^2}=\frac {(2m-tn)^2}{m^2+t^2+n^2+4}\]

观察分子,及备用两个关系式特点,决定分母先不动,展开分子

\[d^2=\frac {4m^2+8n^2+t^2n^2}{m^2+t^2+n^2+4}=\frac {16+t^2n^2}{m^2+t^2+n^2+4}\]

没什么好说的,分母中的$m$必须byebye了

\[d^2=\frac {16+t^2n^2}{8+t^2-n^2}\]


而再由先前两关系式也将$m$干掉,得到
\[2t^2-t^2n^2-2n^2=0\]

从而
\[d^2=2 \iff d=\sqrt 2\]

直线$AB$与给定的圆(圆心在原点,半径为$\sqrt 2$)相切喽。

算完,收工。
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kuing的playing 还未看,不过,此题即便有图片版,他估计也不看的,所以,不会重复,哈哈

那么,如此简化过程呢?

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kuing的playing 还未看,不过,此题即便有图片版,他估计也不看的,所以,不会重复,哈哈

那么,如此简化 ...
isee 发表于 2014-6-9 10:42

现在焦点都在他的那个play贴,那个帖子过千啦!谁叫他在全中国中学数学界那么出名呢?

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回复 3# 其妙
过千?你是说点击率?

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回复 4# 删广告专用
对呀点击率

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回复 5# 其妙

soga...我很少看那个数字

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回复 1# isee
,搞一个一般结论出来噻,

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本帖最后由 isee 于 2014-6-10 23:37 编辑
回复  isee
,搞一个一般结论出来噻,
其妙 发表于 2014-6-9 23:05


大约知道了,不过,未严格证明,也不通俗。



2014bj1901.png
2014-6-10 22:02



$y=2(a)$是关于椭圆 对应 极点$(0,1(\frac {b^2}a))$的极线,当且仅当,极点$B$关于椭圆的极线,直线$OA$,$y=2(a)$,这三线共点的时候,才有这个圆。



数据要求很苛刻的,出题人很厉害。

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本帖最后由 isee 于 2014-6-10 23:48 编辑

算了一下,原来需要离心率为$\dfrac {\sqrt 2}2$,也不难做到,难怪第一问,求离心率的,哈哈。





果然,形缺数时难入微





一般的,保留垂直,
在椭圆$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1,\mathrm{e}=\dfrac {\sqrt 2}2$上一动点$A$,$OB\perp OA$,直线$OB$交直线$y=a$于$B$,
则$AB$与圆$x^2+y^2=b^2$相切,我觉得说$AB$的包络线是这个圆,更好些.

2014bj1902.png
2014-6-10 23:37



找到一种方向,但是有没有 非解析证明方法呢?

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翻个旧帖吧,稍微一般化地考虑。

设点 $A$ 在椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 上,点 $B$ 在直线 $y=m$($m\ne0$)上,且 $OA\perp OB$。

设 $A(r\cos \theta ,r\sin \theta )$,代入椭圆中有
\[\frac 1{r^2}=\frac {\cos ^2\theta }{a^2}+\frac {\sin ^2\theta }{b^2},\]
又显然有
\[OB=\left| \frac m{\cos \theta } \right|,\]
设 $O$ 到 $AB$ 的距离为 $h$,则
\[\frac 1{h^2}=\frac 1{r^2}+\frac 1{OB^2}=\frac {\cos ^2\theta }{a^2}+\frac {\sin ^2\theta }{b^2}+\frac {\cos ^2\theta }{m^2}=\left( {\frac 1{a^2}-\frac 1{b^2}+\frac 1{m^2}} \right)\cos ^2\theta +\frac 1{b^2},\]
可见当 $1/a^2-1/b^2+1/m^2=0$ 时恒有 $h^2=b^2$,即此时直线 $AB$ 恒与 $x^2+y^2=b^2$ 相切。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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本帖最后由 isee 于 2018-2-6 07:51 编辑

回复 10# kuing


    擦,我昨天回顾这个题了。

    后来,我在某一本数学杂志上看到这个题的一般结论了(高观下的),可惜我只是扫了一眼,已然忘记了。

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本帖最后由 isee 于 2018-2-6 10:42 编辑

回复 10# kuing

设A在圆上,代椭圆上,何意?

==========
10点半后更新


哇,这设个极妙!绝赞手法。


然后把直角三角形斜边的上高$\frac 1{h^2}=\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}$,这一设,把这个用活了,如此的轻妙巧!

此时,$$e=\frac bm.$$

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回复 12# isee

这不过是常规方法啊,你记不记得这道题:
「椭圆上两点 $A$, $B$ 满足 $OA\perp OB$,则 $O$ 在 $AB$ 上的射影的轨迹是圆。」
这题你肯定是见过的,其处理方法也就是上面10#那种方法,所以也可以说1#这道高考题不过是这道经典题的变式而已。

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本帖最后由 isee 于 2018-2-6 23:44 编辑

回复 13# kuing


    见过,不过,好像都是用的面积求高,这个直角三角形斜边上的高的平方的倒数几何性质——虽然与面积式等价——在解析几何里用还真是初见,的确方便。学习了。

    另外,10#如果用极坐标写,更加自然。

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回复 14# isee
极坐标就是唬人的,不就是一个三角换元么?

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回复 12# isee
的确把这个结论用活了,估计大家都想到了这个结论,只是一看明显不对头,掉头就走了,而kk却觉得这就是金矿,迟迟不肯走开,继续挖掘,就挖到金矿了!(类似于某年高考题:这个地方没有水,换个地方再挖!)

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