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整理了一个表格,请诸位过目
\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline n个球& k个盒子&        无限制&        n=k&        每盒至多一球(n≤k)&每盒至少一球(k≥n)\\
\hline全不同&全不同& k^{n} & n^{n} & P_{k}^{n} & k !\left|S_{n}^{(k)}\right| \\
\hline全相同&全不同& C_{n+k-1}^{n} & 1 & C_{k}^{n} & C_{n-1}^{k-1} \\
\hline全不同&全相同&\sum\limits_{m=1}^{k}\left|S_{n}^{(m)}\right| & B_{n} & 1 & \left|S_{n}^{(k)}\right| \\
\hline全相同& 全相同&\sum\limits_{m=1}^{k} p_{n}^{m} & \sum\limits_{m=1}^{n} p_{n}^{m} &1 &p_n^{k} \\
\hline
\end{array}
哪里有错?我马上改
其中$S_n^{(m)}$是第一类斯特灵数,$(-1)^{n-m} S_n^m$给出恰好包含m个循环的n个元素的置换的个数.
$p_n^k=p_{n-1}^{k-1}+p_{n-k}^k$是n个元素划分为无序的k个不交的非空集合的方法数,详见这里
资料
https://www.cnblogs.com/SinGuLaRiTy2001/p/6591563.html
https://blog.csdn.net/qq_35541672/article/details/54970586?locationNum=4&fps=1#%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E7%B1%BBstirling%E6%95%B0

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回复 21# hbghlyj

有这样两道题,你自己验证一下吧。

1)有5项工作,有3个人去做,每个人至少做一项工作,问有多少种分配方式?

2)有4项工作,有3个人去做,每个人至少做一项工作,问有多少种分配方式?

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回复 21# hbghlyj

斯特灵数 ,是一种递归方式计算的组合数。

要用这个表,高考时,要带上可编程计算器,预先录入好,然后才能答题。这个玩意操作难度大。

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本帖最后由 走走看看 于 2020-10-5 17:57 编辑

回复 21# hbghlyj

下午总结了下,可以不考虑至多至少的情况,

也不考虑盒子为空的情况,只有4种情况。把如下4种情况

搞清楚,怎么变化都可轻松应对。考试时,都给的是具体数字。


每盒不空
(1)5个相同的小球,放入3个相同的盒子,有多少种方法?
    分组,分组数就是种类数。1、1、3或者2、2、1,答案为2种。

(2)5个相同的小球,放入3个不同的盒子,有多少种方法?
    隔板法,C(4,2)=6种。相当于先分组后排列。

(3)5个不同的小球,放入3个不同的盒子,有多少种方法?
     先分组后排列,[C(5,3)+C(5,2)C(3,2)/2!]A(3,3)=150种。

(4)5个不同的小球,放入3个相同的盒子,有多少种方法?
      分组,分组数就是种类数。C(5,3)+C(5,2)C(3,2)/2!=25种。

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