[数论] 问一个素数存在的题和一个整数的题

1，$n$是正整数，求证存在无穷多个素数$p$使得$\sqrt{n}+\sqrt{p+n}$是整数
2，$a,b,c$是正整数且两两互素，其中任意两数之和是第三数的倍数，求证$abc=6$

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realnumber

2^#

发表于 2014-5-1 22:49 | 只看该作者

回复 1# abababa

1．没头绪
2．以下字母都是整数，不妨设$a<b<c,ak=b+c$,显然有$k\ge3$,
又$ct=a+b,t\ge1$,消去a得到$(1+k)b=(kt-1)c$,又$b<c$,
所以有$1+k>kt-1$，即$2>k(t-1)$,因此$t=1$,
由$(1+k)b=(k-1)c$,$mb=(k-1),mc=k+1,$得到$m(c-b)=2$得m=1或2.后面略．
可能推理还能更简略点，总觉得拖沓．

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其妙

3^#

发表于 2014-5-1 23:15 | 只看该作者

http://zhidao.baidu.com/link?url ... oZuhmz01bLt-tzuKyp_

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realnumber

4^#

发表于 2014-5-1 23:17 | 只看该作者

问题1,似乎有错误，假设任意某个给定的非平方数n,
存在某个整数p,m,有$\sqrt{p+n}=m-\sqrt{n}$,
两边平方得$p+n=m^2+n-2m\sqrt{n}$，这样左边整数，右边无理数，矛盾．

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realnumber

5^#

发表于 2014-5-1 23:21 | 只看该作者

回复 3# 其妙

漏了个＂存在＂，就是2个问题啊～～～．估计楼主疏忽了．

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其妙

6^#

发表于 2014-5-1 23:24 | 只看该作者

回复 5# realnumber
这些非常规的题一般都没下决心去管它了，只是浏览一下，只是感觉面熟，不晓得哪里的竞赛题考过

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realnumber

7^#

发表于 2014-5-1 23:31 | 只看该作者

常规问题是体力活，实在缺乏兴趣．宁可想非常规的，做不了．

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abababa

8^#

发表于 2014-5-2 08:03 | 只看该作者

谢谢，第二题问了一位网友，他的解答有些步骤挺简明的
不妨设$a \le b \le c$，仅当$a=b=c=1$时取等号，当$a<b<c$时，由于$2a < b+c = pa$，于是$p >2$，于是$p \ge 3$
由于$2c > a+b = qc$，所以$2 > q$，所以$q = 1$，于是$c = a+b$
由于$a+c = rb$，所以$a+(a+b) = rb$，而$pa = b+c = a+2b$，两式消去$a$有$(p-1)(r-1) = 4$，而$p \ge 3, r \ge 1$
于是$p=3,r=3$或$p=5,r=2$，解得$b=a,c=2a$或$b=2a,c=3a$
由于$a,b,c$两两互素，所以$a=b=c=1$或$a=b=1,c=2$或$a=1,b=2,c=3$，所以$abc = 1,2,6$

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