[函数] 三角小题

设$x,y,z \in R,x+y+z=\pi$
\[\tan\left(\frac{x+y-z}{4}\right)+\tan\left(\frac{y+z-x}{4}\right)+\tan\left(\frac{z+x-y}{4}\right)=1\]
求证：
\[\cos x+\cos y+\cos z=1\]

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kuing

2^#

发表于 2014-4-13 19:23 | 只看该作者

令 $a=\tan (x/2)$, $b=\tan (y/2)$, $c=\tan (z/2)$，则由 $x+y+z=\pi$ 知 $ab+bc+ca=1$，于是
\begin{align*}
\sum\tan \frac{x+y-z}4&=\sum\tan \left( \frac\pi4-\frac z2 \right) \\
& =\sum\frac{1-c}{1+c} \\
& =\frac{3+a+b+c-ab-bc-ca-3abc}{1+a+b+c+ab+bc+ca+abc} \\
& =\frac{2+a+b+c-3abc}{2+a+b+c+abc},
\end{align*}
所以只能 $abc=0$，即
\[\sin \frac x2\sin \frac y2\sin \frac z2=0,\]
由积化和差，有
\begin{align*}
\sin \frac x2\sin \frac y2\sin \frac z2&=\frac12\cos \frac{x-y}2\sin \frac z2-\frac12\cos \frac{x+y}2\sin \frac z2 \\
& =\frac14\sin \frac{x-y+z}2-\frac14\sin \frac{x-y-z}2-\frac14\sin \frac{x+y+z}2+\frac14\sin \frac{x+y-z}2 \\
& =\frac14\cos y+\frac14\cos x-\frac14+\frac14\cos z,
\end{align*}
所以
\[\cos x+\cos y+\cos z=1.\]

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链剑心

3^#

发表于 2014-4-13 20:28 | 只看该作者

本帖最后由链剑心于 2014-4-13 20:44 编辑

回复 2# kuing

ab+bc+ca=1是为什么

那个貌似在三角形中才成立吧

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kuing

4^#

发表于 2014-4-13 20:54 | 只看该作者

回复 3# 链剑心

不在三角形内也是成立的

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链剑心

5^#

发表于 2014-4-13 21:00 | 只看该作者

回复 4# kuing

说说看

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kuing

6^#

发表于 2014-4-13 21:02 | 只看该作者

$x+y+z=(2k+1)\pi$, $x$, $y$, $z\in\mbb R$, $k\in\mbb Z$，则
\begin{align*}
& \tan \frac x2\tan \frac y2+\tan \frac y2\tan \frac z2+\tan \frac z2\tan \frac x2 \\
={}&\tan \frac x2\tan \frac y2+\left( \tan \frac x2+\tan \frac y2 \right)\tan\left(k\pi+\frac\pi2-\frac{x+y}2\right) \\
={}&\tan \frac x2\tan \frac y2+\left( \tan \frac x2+\tan \frac y2 \right)\cot \frac{x+y}2 \\
={}&\tan \frac x2\tan \frac y2+\left( \tan \frac x2+\tan \frac y2 \right)\frac{1-\tan \frac x2\tan \frac y2}{\tan \frac x2+\tan \frac y2} \\
={}&1 .
\end{align*}

当然了，上面的过程（包括二楼）可能还有一些细节未处理，就是可能涉及一些让 tan 无意义的情况未曾讨论，时间关系就懒了，反正至少可以肯定非特殊角的情况是没问题的……

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其妙

7^#

发表于 2014-4-13 21:22 | 只看该作者

两个著名的三角正切恒等式之一

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其妙

8^#

发表于 2014-4-14 11:28 | 只看该作者

这里也有：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c1131020101esad.html

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