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发表于 2014-4-11 22:08 | 只看该作者

[几何] 求助一道几何题

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乌贼

2^#

发表于 2014-4-12 12:19 | 只看该作者

楼主的几何题

……

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isee

3^#

发表于 2014-4-12 22:29 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-4-14 22:13 编辑

多么美好的结论，有空慢慢想。

题目：
$I,O,I_a$为$\triangle ABC$的内心，外心，顶点$A$所对的旁心。
$BI,CI$分别交$AB,AC$于$E,F$。
求证:$OI_a\perp EF$。

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其妙

4^#

发表于 2014-4-12 23:37 | 只看该作者

又是几何大餐呀！无法吸收呀，消化不良，

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isee

5^#

发表于 2014-4-14 20:32 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-4-14 20:37 编辑

不能自拔的题目，九点圆？调和点列？极线极点？

这么美的结论，头痛啊，想必一定有好的证明。

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isee

6^#

发表于 2014-4-14 20:41 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-4-14 20:43 编辑

还是用直接算$I_aE^2-I_aF^2=OE^2-OF^2$成立？

硬算，复数与向量应该好些吧。

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isee

7^#

发表于 2014-4-14 20:45 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-4-14 20:48 编辑

果然，都不通俗 http://bbs.cnool.net/cthread.aspx?topicid=104666508

果然竞赛题，还得用竞赛方法解，涉及知识太多，第一感九点圆，果然是正确的，可惜的是仅仅有个概念而已

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isee

8^#

发表于 2014-4-14 20:49 | 只看该作者

九点圆相关，更变态的题
http://www.aoshoo.com/bbs1/dispb ... p;page=4&star=1

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isee

9^#

发表于 2014-4-14 20:54 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-4-15 15:05 编辑

哈哈……面对这种题，终于能体会到学生干什么都知道一点，但无法继续的感觉了哈哈……

解读一下Arab@东方论坛的解法。

1. 两圆相交，连心线垂直于公共弦；
2. 九点圆(欧拉圆)是三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆；
3. 九点圆的圆心是三角形垂心与外心连线的中点；
4. 三角形的顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的两倍；
5. 三角形旁心组成的三角形，其九点圆，恰好就是三角形的外接圆；

楼主的特点是喜欢把题改一下，然后就没然后了。

从这里正式开始！Arab@东方论坛的解法——

主楼的题目本质是在三楼，
即：$I,O,I_a$为$\triangle ABC$的内心，外心，顶点$A$所对的旁心。$BI,CI$分别交$AB,AC$于$E,F$。求证:$OI_a\perp EF$。

既然在3楼已经作出了顶点A所对的旁心，那，干脆将三个旁心全作出来，结果，$\triangle I_aI_bI_c$的九点圆正是圆O，虽然（包括此题的结论）这个已经存在200余年了，偶见这个题的时候才重新认识她！

$O',O''$关于$I_bI_c$轴对称，由前面的准备知识2,3,4,5，知道，$I_a,O(N),O''$三点共线。
由于这条线为连心线，故需要证直线EF即这两圆O，圆O''(指圆$II_bI_c$)的公共弦（所在的直线）。

上面，就是为什么说和九点圆有关，这部分，偶还算熟悉。

根轴也是熟的，不过，像这么复杂的，还是很少玩的。

注意，将E，F两点分别在两圆中看，然后合在一起看，不过多解释，慢慢体会吧。
\[IF \cdot FI_b=AF\cdot FC,\]
\[I_cE \cdot EI=AE \cdot EB=RE\cdot EC\]

这两相交弦定理用得，极具神采，EF便是圆O与圆O''根轴！

于是，两者完美结合了，就是用准备知识1啦

最后，说一下，在近代欧氏几何何学单墫译，九点圆部分，有提到二楼这个定理，EF有个名字，叫极轴。

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