[函数] 经常看到这种解法，闲来无事又再扯扯

阳江谭******** 17:36:00
老师们请帮忙,这题怎么解?

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2014-4-8 21:34

求帮忙
东莞周******** 17:40:38
是不是14？
江门开******** 17:44:13

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2014-4-8 21:34

阳江谭******** 17:45:26
谢谢!
广州kuing/kun 17:45:43
最关键的单调性没提，没单调性是推不出中间为0的
江门开******** 17:47:18
定义域对称，不就是必有f(a14)=0吗？
奇函数啊
广州邓******** 17:47:42
这个题解题时要说一下单调递增

推理时，理由并未充分，中间只是想当然得到结论，只可惜答案往往是正确的，以至于解答者自己很难发现问题所在。

然而，如何跟解答者解释也是个问题，像我上面直接指出问题，解答者仍然不觉得有问题，看来还是有必要构造反例。

$%按照上面的解答，只要 $f(x)$ 是奇函数，$\{a_n\}$ 等差，且 $f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2k-1})=0$，就必有 $f(k)=0$。$

如果我们将题目中的函数改一改，改成 $f(x)=\sin 3x$，定义域不改，等差数列 $\{a_n\}$ 的项数改小一点，就 3 项好了，$f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)=0$，那是不是也必有 $f(a_2)=0$？

事实上，当 $a_1=-30\du$, $a_2=10\du$, $a_3=50\du$ 时，满足等差，也在定义域内，且 $f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)=\sin(-90\du)+\sin30\du+\sin150\du=0$，此时 $f(a_2)=1/2$。

由此可见，没有单调性或其他条件，是不足以推出中间项为 $0$ 的。

至于有单调性的就很容易推了，之前在《数学空间》2012 年第 2 期总第 9 期 P22 就写过方法，这里将一般情况再重复一遍，不要想当然，要证明。

设 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是奇函数且递增（这里说的单调性都是严格的，下同），数列 $\{a_n\}$ 有 $2k-1$ 项，所有项都在 $D$ 内，且对 $m=1$, $2$, $\ldots$, $k$ 都满足 $a_m+a_{2k-m}=C$ 为常数。
若 $f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2k-1})=0$，则必有 $C=0$，亦即 $f(a_k)=0$。

证明：假设 $C>0$，由条件知 $2a_k=C>0$，由奇函数且递增知 $f(a_k)>f(0)=0$。
又 $a_m+a_{2k-m}=C>0$，则 $a_m>-a_{2k-m}$，由 $a_{2k-m}\in D$ 知 $-a_{2k-m}\in D$，故又由奇函数且递增知 $f(a_m)>f(-a_{2k-m})=-f(a_{2k-m})$，即得 $f(a_m)+f(a_{2k-m})>0$。
于是 $f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2k-1})=f(a_1)+f(a_{2k-1})+f(a_2)+f(a_{2k-2})+\cdots+f(a_{k-1})+f(a_{k+1})+f(a_k)>0$，矛盾。
同理可证当 $C<0$ 时亦矛盾（将上面的 > 全改为 < 即可），故只能 $C=0$，亦即 $a_k=0$，故 $f(a_k)=0$。

$f(x)$ 递减时亦同理。