平面上的有限个点，任三点共线，则这些点同在一条直线上

平面上的有限个点，如果具有这样的性质：过这些点中任意两个点的直线上都有这些点中的第三个点，那么这些点一定在同一条直线上。

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其妙

2^#

发表于 2014-4-2 12:54 | 只看该作者

数学归纳法可以不？

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isee

3^#

发表于 2014-4-2 21:22 | 只看该作者

回复 2# 其妙

秀秀？

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realnumber

4^#

发表于 2014-4-2 21:56 | 只看该作者

这样可不可以：
假设这些点不在一直线上，那么用线段连接所有的点，总可以围成一个凸多边形(多边形的外面没有点)，且每条边上至少三点(包括两顶点)，
选取一个顶点A，其它所有点与A相连，那么如图，射线间没有点．如图，选取凸多边形连续的三顶点ABC,在边AB,BC上最靠近B的点记为$A_3$，N,
连接直线$A_3N$.因为凸多边形外无点，A出发的射线间无点，所以直线$A_3N$只有２个点，矛盾．

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realnumber

5^#

发表于 2014-4-2 22:03 | 只看该作者

本帖最后由 realnumber 于 2014-4-2 22:42 编辑

有漏洞，继续改进，AB,AN间也许还有射线．
越想越复杂

．

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007

6^#

发表于 2014-4-3 09:02 | 只看该作者

这样子可以吗
(1)$n=3$,显然成立
(2)假设$n=k(≥3)$成立，
则$n=k+1$时，设这些点为$A$，$B$，其余$k-1(≥2)$个点。
由归纳假设知$A$与其余$k-1(≥2)$个点共线于$l_1$，$B$与其余$k-1(≥2)$个点共线于$l_2$,
从而$l_1$与$l_2$至少有$k-1(≥2)$个公共点，于是$l_1$与$l_2$重合。
……

007
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realnumber