[数列] 组合数求和

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战巡

2^#

发表于 2014-3-23 16:07 | 只看该作者

回复 1# aishuxue

\[T_n(x)=\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1)^k\frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}\]
其中$T_n(x)$为第一类切比雪夫多项式，有：
\[T_n(x)=\frac{(x-\sqrt{x^2-1})^n+(x+\sqrt{x^2-1})^n}{2}=\cos(n\arccos(x))\]
因此有
\[\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{C^k_{2n-k}}{2n-k}=\frac{T_{2n}(\frac{1}{2})}{n}=\frac{\cos(\frac{2n\pi}{3})}{n}\]
原式$S=-\frac{1}{2014}$

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aishuxue

3^#

发表于 2014-3-23 20:35 | 只看该作者

有其它更基本的方法吗？

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战巡

4^#

发表于 2014-3-24 03:31 | 只看该作者

本帖最后由战巡于 2014-3-24 03:42 编辑

回复 3# aishuxue

其实已经相当基本了，一点高等的东西都没有
你去推第一个式子就可以了，设法证明：
\[T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)\]
加上易证$T_0=1, T_1=x$就有$T_n(x)$为切比雪夫多项式

我引入这个其实是想告诉你这个题潜在的出处，有些混球出题出到没东西出就拿这些高级的玩意带入特殊值出来了
就本题而言，令$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{C_{2n-k}^k}{2n-k}=a_n$，你也可以设法证明$(n+1)a_{n+1}=-na_n-(n-1)a_{n-1}$

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