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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 某网友问的大概是合情推理题
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kuing
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发表于 2014-3-22 02:02
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只看该作者
[数论]
某网友问的大概是合情推理题
★Miss ****★ 1:19:56
2014-3-22 01:55
求教第5题
题目:(江门市 2013 届高三 2 月高考摸拟)观察下列各式:$5^2-1=24$, $7^2-1=48$, $11^2-1=120$, $13^2-1=168$……,所得结果都是 $24$ 的倍数。依此类推:$\forall n\in\mbb N^+$,____是 $24$ 的倍数。(本题填写一个适当的关于的代数式即可)
话说,数论真的不熟,下面的玩法估计是笨方法……
解:设 $24p=f^2-1$,其中 $p$, $f\in\mbb N^+$。
显然 $f$ 必为奇数,设 $f=2h+1$,其中 $h\in\mbb N^+$,则 $6p=h(h+1)$,可见 $3$ 必能整除 $h$ 或 $h+1$,即 $h=3g$ 或 $h=3g-1$,其中 $g\in\mbb N^+$(下同)。
反之,若 $h=3g$,则 $2p=g(3g+1)$,因为 $g$ 和 $3g+1$ 必然一奇一偶,故 $p$ 有解;若 $h=3g-1$,则 $2p=(3g-1)g$,同样 $g$ 和 $3g-1$ 必然一奇一偶,故 $p$ 亦有解。
综上所述,满足 $6p=h(h+1)$ 的所有正整数 $h$ 为 $h=3g$ 或 $h=3g-1$,即满足 $24p=f^2-1$ 的所有正整数 $f$ 为 $6g+1$ 或 $6g-1$,因此答案为 $(6n+1)^2-1$ 或 $(6n-1)^2-1$。
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其妙
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发表于 2014-3-22 14:16
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只看该作者
我还说等差呢,原来是分段的等差,
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tommywong
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发表于 2014-9-6 18:29
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只看该作者
$x^2 \equiv 1 (mod24)$
$x^2 \equiv 1 (mod8),x^2 \equiv 1 (mod3)$
$x \equiv 1,3,5,7 (mod8),x \equiv 1,2 (mod3)$
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