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本帖最后由 isee 于 2014-3-20 00:16 编辑

回复 13# 乌贼


这辅助线,构得也很好,不过,实在不想看,眼都花了。

刚开始只看kuing的几何图以为是旋转构造,原来是构五边形!如三角形造三角形如出一辙,领会了一下,兄台第一平行也是神来之笔,而实际上也是构造了五边形!

改进之后的辅助图:(按此图要证明的是:PA+PD+PB=PE+PC;下图中将P与P'字母互换一下就与原图字母一致)


snap-ptg02.png
2014-3-19 23:34



此图,和在前面说的作圆本质相同,但这里不用全等的说法,乃中心对称也!


具体操作如下:

以在圆上另取一点P'(点P''),使线段PP'(线段PP'')等于正五边形的边长(AB边的长)。
由圆中正五边形,及弧与边的关系,容易得到AP'=PB=CP'',这个很关键。


以PP'中点为中心点,将整个图形中心对称,得正边形形A'B'C'D'E'及其外接圆,如图。

等腰梯形DEP'P与D'E'PP'是关于PP'的中点(即前面的对称中心)对称的,这表明E,P',D'是共线的,D,P,E'亦是如此。

在虚线圆中P的位置与实线圆中的P是等价地位(这个说法,稍口语的,明白意思就成),即有PA'=P'B'。
进一步,PE=P'E'=PD'。

于是PE+PC=PD'+PC=CD'。(与前面一样,注意两等圆中,用等价位置转换相等线段,或者规范一点,等圆等弧推等线段。)

另一方面,PA+PD=P'A'+PD=PE'+PD=DE'=ED'。

连接EP'',交CD'于K,连CP'',还是由弧长关系,得$\angle P''=\angle CKP''=\angle D'KE=\angle D'EK$,实际均为$\dfrac {2\pi}5$。

这样,ED'=D'K,即$PA+PD=PE+PC-PB$,证毕。

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刚开始只看kuing的几何图以为是旋转构造,原来是构五边形!如三角形造三角形如出一辙, ...
isee 发表于 2014-3-19 23:31

所以我在7#也说了受三角形时的启发

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回复 21# isee
碰到这类证线段和相等的问题,我喜欢把它们分别变成两线段后再证线段,所以说硬构。

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回复 22# kuing


睡了先,前面提到的(沿边)轴对称的方法与中心对称大同小异,不想发了,知道构造正五边形后……

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正 7 边形,一样可证
QQ截图20140320002254.gif
2014-3-20 00:23

这样,不难发现,正 2n-1 边形也是同理的。
因为由于总是对称地全等,在较小的正 2n-1 边形外的线段总是互相抵消掉,剩下里面的又对称性地相等,所以总是成立的。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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QQ截图20140320003239.gif
2014-3-20 00:32


可惜,估计这也不是我第一个想到的,想在平几何里玩出新东西,谈何容易
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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无标题.png
2014-3-20 08:12


解出每条对角线的比例后,用一次托勒密定理就有一个关系

$a_1^2=2r^2(1-cos\frac{2π}{n})$

$a_2^2=2r^2(1-cos\frac{4π}{n})$

$\frac{a2}{a1}=\frac{sin\frac{2π}{n}}{sin\frac{π}{n}}$
现充已死,エロ当立。
维基用户页:https://zh.wikipedia.org/wiki/User:Tttfffkkk/
Notable algebra methods:https://artofproblemsolving.com/community/c728438
《方幂和及其推广和式》 数学学习与研究2016.

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isee在12楼的解答看不见,isee总是能找些经典的几何题!

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本帖最后由 isee 于 2014-3-20 13:42 编辑

回复 28# 其妙

换浏览器,或者开启IE视图兼容


有空你来写下三角函数的一般情况下的过程?其实主要是这种题比较平易近人,说难吧,想一总能解决,说简单吧,一时半会不会有结果,总之,平易近人

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isee在12楼的解答看不见,isee总是能找些经典的几何题!
其妙 发表于 2014-3-20 13:15

进 archiver 版或许能看到 http://kuing.orzweb.net/archiver/?tid-2494.html

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回复 30# kuing
真能看到了!
我还以为用的是复数呢?

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25.26楼的图太漂亮了,你真查证过不是第一个?
感觉上和一些数学大会会标一样了.

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25.26楼的图太漂亮了,你真查证过不是第一个?
感觉上和一些数学大会会标一样了.
realnumber 发表于 2014-3-20 14:18

没查证过,不过这并不是很难想的东西,如无意外下我们以上的,尽管都是自己想,但都将是重新发现。

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本帖最后由 isee 于 2014-3-20 15:39 编辑

回复 25# kuing



中心对称亦可以搞定7边形,虽然图形不那么好看,
核心是,中间大小两三角形都是等腰的,同色两三角形全等。
目标式为:$a_3+a_5-(a_2+a_4)=a_6-a_1-a_7$,

这里,$a_1,a_7$化到$a_6$上,用中心对称是容易看出来的。需要改进的是,最后一个同色三角形全等,太不“和谐”了。
snap-7.png

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回复 5# kuing

正如前面所说,正五形的的顶点应该都是等同地位的,
故,将kuing的辅助线,适当修改,
改成- 法(线段差)为 + 法(线段和),
个人更习惯些。

如图:先将三角形BPA绕点B顺时针旋转108度得到三角形BCP',
由B,C,P,A四点共圆,知P'在PC延长线上,构造正五边形PBP'P''P''',如图所示。

则 $PP'=PP'' \Rightarrow a_1+a_3=a_4+(a_2-a_5)\Rightarrow PA+PC+PE=PB+PD$。

这辅助线的真赞,kuing,这就是属于你的了。
snap-5.png

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本帖最后由 isee 于 2014-3-20 22:27 编辑

果然最长的边时最快速。
snap-52.png

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本帖最后由 isee 于 2014-3-21 11:27 编辑

回复 35# isee


    岂能厚此薄彼呢?向外转一样可以的。正五边形,总之需要三次旋转。

将加法做到底:$a_2+a_4=a_5+(a_1+a_3)$
snap-53.png

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刹不住车了~

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本帖最后由 isee 于 2014-3-21 12:19 编辑

特别的,如果正五边形和原正边形全等如何呢?
(即所作五边形不落在延长线上呢?)
即有轴对称了:

snap-54.png
2014-3-21 12:12


将五边形沿AB(理论上任何边均可)对称,得对称图形。
延长PA交对称圆于P',直线P'B交圆于p'',交PC于F。

然后就同中心对称了。而且基本就是一样地

回头看看,以方法全部统一,构造正边形(常说构造正三角形,正方形的……)。

互此,止步了……

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几何画板真是对付复杂图形的利器,几何画板直观图形,省了不少事儿

最后,感谢大家积极响应,严重感谢各位!

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