[数列] （转）-数列一题

本帖最后由 realnumber 于 2014-3-15 15:35 编辑

河北邢台余--(37----7) 14:59:40
数列$\{a_n\}$满足,$a_1=1,a_{n+1}=2^na_{n}+n$,求通项公式.
设$ b_n=\frac{a_n}{2^{\frac{n(n-1)}{2}}}$
那么问题就是$b_1=0.5,b_{n+1}=b_n+n2^{\frac{n(n+1)}{2}}$
看来没简单的表达式，后面略.

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realnumber

2^#

发表于 2014-3-15 15:55 | 只看该作者

本帖最后由 realnumber 于 2014-3-15 16:02 编辑

猜测
处理诸如如下类型$a_n=g(n)a_{n-1}+h(n)$
可以尝试这样代换$\frac{a_n}{f(n)}=\frac{g(n)}{f(n)}a_{n-1}+\frac{h(n)}{f(n)}$
如果有$\frac{g(n)}{f(n)}=\frac{1}{f(n-1)}$,那么以上数列可以换元后$b_n=\frac{a_n}{f(n)}$累加就求出了通项公式.
1楼题目如此，象这个$a_1=1,a_n=2a_{n-1}+1$也是.等等.
给定$g(n)$,总可以由$\frac{f(n)}{f(1)}=\frac{f(n)}{f(n-1)}\frac{f(n-1)}{f(n-2)}...\frac{f(2)}{f(1)}=g(n)g(n-1)...g(2)$,得到f(n),而f(1)随意给定一个简单的值？
也许f(1)的值，得使得f(n)表达式简单才妥当.

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kuing

3^#

发表于 2014-3-15 16:08 | 只看该作者

若记 $g!(n)=g(1)g(2)\cdots g(n)$，则
\begin{align*}
a_n&=g(n)a_{n-1}+h(n), \\
\frac{a_n}{g!(n)}&=\frac{a_{n-1}}{g!(n-1)}+\frac{h(n)}{g!(n)}, \\
\frac{a_{n}}{g!(n)}&=\frac{a_1}{g(1)}+\frac{h(n)}{g!(n)}+\frac{h(n-1)}{g!(n-1)}+\frac{h(n-2)}{g!(n-2)}+\cdots +\frac{h(2)}{g!(2)},
\end{align*}
嗯，跟没做一样。

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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realnumber

4^#

发表于 2014-3-15 16:11 | 只看该作者

回复 3# kuing

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其妙

5^#

发表于 2014-3-15 20:30 | 只看该作者

虽然跟没做一样，但都给出了这类递推数列的通法

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