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两球的擦边碰撞问题

本帖最后由 天书 于 2014-3-10 22:42 编辑

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2014-3-10 22:40
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回复 1# 天书
谢谢天书帮爪机党上传图片.....

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1#怎么少了一行,刚才我好像看到“其实我是海x”这样的东东

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回复 3# kuing


    银家害羞啊......

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还是动量守恒+能量守恒就可以做的东西,你偏要用质心系。。。。

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一看就是上次那道题就还没搞懂的人,还有脸再发问一道新的题目,简直逗得飞起。
1为什么成立,因为 u=v 所以1成立。

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呃,其实我也不懂质心系是神马,图中看不太懂,只会用两个守恒来玩,可能做复杂了,后面的化简有点麻烦。
(但是上面海x的图中看上去好像很简单就得到了,莫非这是质心系的优点?看来有必要学学看……)

由动量守恒有
\begin{equation}\label{cabians1}
m_1\bm u_1=m_1\bm v_1+m_2\bm v_2,
\end{equation}
由能量守恒有
\begin{equation}\label{cabians2}
m_1\bm u_1^2=m_1\bm v_1^2+m_2\bm v_2^2,
\end{equation}
因为 $\bm v_2$ 的方向能确定,故先消去 $\bm v_1$ 求 $\bm v_2$,式 \eqref{cabians1} 代入式 \eqref{cabians2} 整理得
\[m_1^2\bm u_1^2=(m_1\bm u_1-m_2\bm v_2)^2+m_1m_2\bm v_2^2,\]
由海x画的图有 $\bm u_1\cdot\bm v_2=\abs{\bm u_1}\abs{\bm v_2}\cos\phi$,故上式展开得
\[m_1^2\bm u_1^2=m_1^2\bm u_1^2-2m_1m_2\abs{\bm u_1}\abs{\bm v_2}\cos\phi+m_2^2\bm v_2^2+m_1m_2\bm v_2^2,\]
化简即得
\begin{equation}\label{cabians3}
\abs{\bm v_2}=\frac{2m_1\cos\phi}{m_1+m_2}\abs{\bm u_1},
\end{equation}
式 \eqref{cabians3} 代回式 \eqref{cabians2} 得
\[
%\begin{equation}\label{cabians4}
m_1\bm u_1^2=m_1\bm v_1^2+m_2\left(\frac{2m_1\cos\phi}{m_1+m_2}\right)^2\bm u_1^2,
%\end{equation}
\]
化简即得
\begin{equation}\label{cabians5}
\abs{\bm v_1}
=\sqrt{1-\frac{4m_1m_2\cos^2\phi}{(m_1+m_2)^2}}\abs{\bm u_1},
%=\frac{\sqrt{m_1^2+m_2^2-2m_1m_2\cos2\phi}}{m_1+m_2}\abs{\bm u_1},
\end{equation}
再由海x画的图知 $\bm v_1\cdot\bm v_2 =\abs{\bm v_1}\abs{\bm v_2}\cos(\phi+\theta)$,则式 \eqref{cabians1} 两边平方得
\[m_1^2\bm u_1^2=m_1^2\bm v_1^2+m_2^2\bm v_2^2+2m_1m_2\abs{\bm v_1}\abs{\bm v_2}\cos(\phi+\theta),\]
由式 \eqref{cabians2} 知上式可化简为
\[(m_1-m_2)\abs{\bm v_2}=2m_1\abs{\bm v_1}\cos(\phi+\theta),\]
故代入式 \eqref{cabians3}、\eqref{cabians5} 并令 $m_1=tm_2$ 得
\[
\cos(\phi+\theta)=\frac12\left(1-\frac{m_2}{m_1}\right)\frac{\abs{\bm v_2}}{\abs{\bm v_1}}=\frac{(t-1)\cos\phi}{\sqrt{(t+1)^2-4t\cos^2\phi}},
\]

\[\theta =\arccos \frac{(t-1)\cos \phi }{\sqrt{(t+1)^2-4t\cos^2\phi }}-\phi,\]
当 $t=1$ 时 $\theta =90\du-\phi$,当 $t\ne1$ 时,由恒等式
\[\tan (\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}x\]
可以计算出
\[\tan \left( \arccos \frac{(t-1)\cos \phi }{\sqrt{(t+1)^2-4t\cos^2\phi }} \right)=\frac{t+1}{t-1}\tan \phi,\]
于是
\[\tan \theta =\frac{\frac{t+1}{t-1}\tan \phi -\tan \phi }{1+\frac{t+1}{t-1}\tan^2\phi },\]
化简即得
\begin{equation}\label{cabians10}
\tan \theta=\frac{\sin 2\phi }{t-\cos 2\phi },
\end{equation}
当 $t=1$ 时也符合式 \eqref{cabians10}。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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话说,如果这样分解来看:
QQ截图20140311193129.gif
2014-3-11 19:31


那个 $v_1$ 的分速度 $e$ 可不可以按照 $m_1$ 以速度 $u_1\cos\phi$ 正碰 $m_2$ 来计算?

从计算结果来看的确如此(符合正碰的公式)……
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
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直接看质心参考系,也就是质心是不动的,

那么两个质点相向运动,速度比等于质量比的反比,
然后他们非对心碰撞,注意碰撞前后相对速度的大小是不变的,而速度比还得是质量比的反比,这样速度只能保持不变。也就是你笔记上说的 u1'=v1'

冲量是动量改变的原因,初始动量,冲量,末动量,这三个向量画在一个图里是满足平行四边形法则的,并且因为初始动量和末动量大小相等所以退化为菱形,冲量正好是其角平分线,所以有(1)的那个角度关系。

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回复 8# kuing

续8#:由能量守恒,有
\begin{align*}
m_1u_1^2&=m_1v_1^2+m_2v_2^2,\\
m_1[(u_1\sin\phi)^2+(u_1\cos\phi)^2]&=m_1[(u_1\sin\phi)^2+e^2]+m_2v_2^2,\\
m_1(u_1\sin\phi)^2&=m_1e^2+m_2v_2^2,
\end{align*}
由此看来,在 $e$ 方向上也有“形式上的能量守恒”,可见的确可以按照分速度的正碰来算,亦即直接由正碰的公式得
\[e=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_1\cos\phi.\]

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回复 10# kuing

再续,看回8#那个分解图,不管 $e$ 是正是负,都有
\[\phi+\theta+\arctan\frac e{u_1\sin\phi}=90\du,\]
代入楼上结果即
\[\theta=90\du-\phi-\arctan\frac{(m_1-m_2)\cot\phi}{m_1+m_2},\]
然后
\begin{align*}
\cot\theta&=\tan\left(\phi+\arctan\frac{(m_1-m_2)\cot\phi}{m_1+m_2}\right)\\
&=\frac{\tan\phi+\frac{(m_1-m_2)\cot\phi}{m_1+m_2}}{1-\tan\phi\cdot\frac{(m_1-m_2)\cot\phi}{m_1+m_2}}\\
&=\frac{(m_1+m_2)\tan\phi+(m_1-m_2)\cot\phi}{2m_2},
\end{align*}
所以
\[\tan\theta=\frac2{(t+1)\tan\phi+(t-1)\cot\phi}=\frac{\sin2\phi}{t-\cos2\phi}.\]

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直接看质心参考系,也就是质心是不动的,

那么两个质点相向运动,速度比等于质量比的反比,
然后他们非对 ...
icesheep 发表于 2014-3-11 20:14


一直到“冲量正好是其角平分线”为止都看懂了,但是怎么就直接得到式1的角度关系了?智商好捉急....

老师给出了一个动量关系图,如下所示:
QQ20140314-6.gif
2014-3-15 00:28


从此图可以很清楚看出①中的角度关系,但关键是我不知道这个图是怎么构建出来的....

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紧接着又得出了一系列结论,搞得我快奔溃了...谁能给我解释下怎么来的啊。。。特别是头两个式子。。。
When $m_2<m_1$,$$\sin\theta_{max}=\frac{v_1'}{V}=\frac{m_2}{m_1}$$
球2在实验室系中的末速度:$$v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u\cos\phi$$
实验室系中2球动能之比:$$\frac{K_2}{K_1}=\frac{m_2v_2^2}{m_1v_1^2}=\frac{4m_1m_2}{M^2}\cos^2\phi$$
When $m_1=m_2$,$$\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$$$$\theta'=\pi-2\phi=2\theta$$

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哎哟,碰巧今年的卓越联盟的物理也考了斜碰!
搜狗截图20140315104436.png
2014-3-15 11:05
搜狗截图20140315104455.png
2014-3-15 11:05
搜狗截图20140315104510.png
2014-3-15 11:05

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,看不懂啊

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本帖最后由 青青子衿 于 2014-11-30 11:54 编辑

回复 15# 其妙
搜狗截图20140517213749.png
2014-6-1 12:12
weftwre2.gif
2014-11-30 11:54

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