本帖最后由 realnumber 于 2014-3-20 18:38 编辑
方程即为 $(x^3+2x)^3=(x^5-2x)^5$,可观察得其中一个解$x=0$
因此化简为$(x^2+2)^3=x^2(x^4-2)^5,令t=x^2>0$,
得到$(t+2)^3=t(t^2-2)^5$,观察得出t=-1或t=2.----②
而$\frac{t(t^2-2)^5-(t+2)^3}{(t+1)(t-2)}=t^9+t^8-7\,t^7-5\,t^6+21\,t^5+11\,t^4-27\,t^3-5\,t^2+20\,t+4=0$---①
后面不会了,几何画板实验了下,t=-0.20144附近还有解.
http://zh.numberempire.com/simplifyexpression.php
应该已经可以处理掉了，只需要证明①没有正根.
因为$t^9-7t^7+\frac{49}{4}t^5\ge0,t^8-5t^6+\frac{25}{4}t^4\ge0$,所以只需要证明$\frac{35}{4}t^5+\frac{19}{4}t^4-27t^3-5t^2+20t+4\ge0$
又$\frac{35}{4}t^5-27t^3+21t>0$(因为判别式小于0),只需要证明$\frac{19}{4}t^4-5t^2-t+4\ge0$
又$\frac{19}{4}t^4-6t^2+2\ge0$(因为判别式小于0),只需要证明$t^2-t+2\ge0$此不等式成立.所以①没有正根.
即原方程有且只有解$x=0,x=\sqrt{2},x=-\sqrt{2}$.
怎样由②得出，只有正根2，没想到办法. |
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发表于 2014-3-9 09:39
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发表于 2014-3-20 14:08
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