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[组合] 一道数列与组合题。。。

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2014-2-28 10:31
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本帖最后由 战巡 于 2014-3-1 01:37 编辑

回复 1# 文刀


(1)、
先看前两个好了,显然有$S_1\ge S_2$,否则在第一轮抽卡的时候就应该抽到$S_2$,这样才满足每一轮都使卡片和最大化的条件
如此推下来:
\[S_1\ge S_2\ge ... \ge S_N\]
显然每次至少4张,假设只有三张或以下,则有$S_n<30·3=90$,必然还有位置放下一个数,使得$S_n+a_i<30·4=120$,这才能满足最大化条件

(2)、
假设第$N$组里面的一个数为$a_Ni$,那么显然对于前面的任意一组来说,都有$S_n+a_Ni>120, n\in N, 1\le n\le N-1$
即有:
\[S_n>120-a_Ni>120-30=90\]
那么对于前$N-2$组来说
\[\sum_{n=1}^{N-2}S_n=1080-(S_N+S_{N-1})\le 1080-(a_Ni+S_{N-1})<1080-120=960\]
根据第一问结论可知
\[nS_n\le \sum_{i=1}^nS_i \le \sum_{n=1}^{N-2}S_n\]
于是有
\[nS_n<960\]
\[S_n<\frac{960}{n}\]

(3)、
由第二问推出来的东西可知:
\[1080=\sum_{n=1}^{N-1}S_n>90(N-1)\]
\[N<13, N\le 12\]
那么只要证明$N\ne 12$就好了
当$N=12$时,根据第二问可知$S_{10}<\frac{960}{10}=96$
假设第11组中存在$k$个元素,$S_{11}=a_1+a_2+...+a_k$
显然对于任意$1\le i \le k$,有$S_{10}+a_i>120$
于是可知:
\[a_i>120-S_{10}\ge 120-96=24\]
如此,又根据第一问结论,$k\ge 4$,可知$S_{11}=\sum_{i=1}^ka_i> 4·24=96>S_{10}$,这与第一问结论矛盾,因此不可能,$N\ne 12$,只能$N\le 11$

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