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[几何] 这道圆锥曲线题的背景

555.jpg
2014-2-26 21:59

2013安徽理科题。
第二问的答案是:x+y=1
该题有何广泛意义的背景,在下才疏学浅,求教于大方之家。
谢谢!


____kuing edit in $\mathrm\LaTeX$____
安徽卷理科 18:

设椭圆 $E: x^2/a^2+y^2/(1-a^2)=1$ 的焦点在 $x$ 轴上。

(1)略;

(2)设 $F_1$, $F_2$ 分别是椭圆 $E$ 的左、右焦点,$P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点,直线 $F_2P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$,并且 $F_1P\perp F_1Q$。证明:当 $a$ 变化时,点 $P$ 在某定直线上。
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回复 1# 史嘉
又要准备写文章了?

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总想找到命题者的命题根源,定直线与椭圆相切,不知有何来头,有没有更深的渊源?

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背景我不是很清楚了,不过我得到了以下解法,不知能否看到一些背景的影子?

设 $(x_0,y_0)$ 为椭圆 $E$ 上的点,由柯西不等式,有
\[1=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{1-a^2}\geqslant \frac{(x_0+y_0)^2}{a^2+1-a^2}=(x_0+y_0)^2 \riff x_0+y_0\leqslant1,\]
因此椭圆上的点不会跑到直线 $x+y=1$ 的上方去,而且总存在满足取等条件的点(可以由取等条件解出具体的点,这里不详写,其实想想想也知道一定能取等),即椭圆与直线 $x+y=1$ 总有公共点,由此可见椭圆恒与直线 $x+y=1$ 相切。

QQ截图20140226234429.gif
2014-2-26 23:45

作 $\angle F_1PQ$ 的角平分线交 $y$ 轴于 $I$,如图所示,则
\[\angle PIQ=180\du-\angle IPQ-\angle IQP=180\du-\frac12(\angle F_1PQ+\angle F_1QP)=135\du,\]
从而 $PI$ 的斜率恒为 $1$,据根光学性质,椭圆在 $P$ 处的切线斜率恒为 $-1$。

结合以上两点,便知 $x+y=1$ 就是椭圆在 $P$ 处的切线,亦即 $P$ 必在直线 $x+y=1$ 上。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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,强大!

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这题考死学生,标答?

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回复 6# 乌贼

标答当然是代数证法,其实也不难的,自己百度一下吧。

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我贴
211.png
2014-2-27 02:25

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回复 8# 乌贼

这是标答??

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回复 9# kuing
从中学校长网历年高考真题上下载的,不知是不是标答。

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回复 10# 乌贼
找个扫描版的吧 http://wenku.baidu.com/view/76acb0c0240c844769eaeed8

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本帖最后由 史嘉 于 2014-2-27 14:36 编辑

回复 2# 其妙

谢谢老K,有劳又编了一次。几何功底了得。
其妙老师见笑了,都这个时候了还写,呵呵,
讲到此题,总感觉未触及根本,故请教于大家。

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本帖最后由 isee 于 2014-2-27 13:17 编辑
背景我不是很清楚了,不过我得到了以下解法,不知能否看到一些背景的影子?

设 $(x_0,y_0)$ 为椭圆 $E$ 上 ...
kuing 发表于 2014-2-26 23:45


把焦点关于y轴对称用得极致了!



我怎么觉得前面那个柯西应有“替代”说法,否则有违和感;

当然,这是非常个人的一念……

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回复 13# isee
光学性质的典范

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把焦点关于y轴对称用得极致了!



我怎么觉得前面那个柯西应有“替代”说法,否则有违和感;

当然,这是非常个人的一念……
isee 发表于 2014-2-27 13:12

没懂……
由于观察到分母和为1,自然会有柯西的想法……

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回复 13# isee
说柯西不等式的变形更合适。

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和柯西不等式的取等条件完全吻合。

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