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[几何] 中考二次函数题,证明角相等(或对称)

本帖最后由 Tesla35 于 2013-9-17 12:08 编辑

QQ截图20130917115953.png
2013-9-17 12:01

抽象出来的图形如下:
随便画一个抛物线如$y=-\frac{1}{2}x^2$,过定点$(0,-2)$的动直线交抛物线于两点$A,D$,已知定点$E(0,2)$求证$DE,AE$关于$y$轴对称。
QQ截图20130917120248.png
2013-9-17 12:03

只要两定点关于抛物线顶点对称就有这个性质,有什么几何解释么?
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角平分线定理?

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首先作伸缩变换,总能将抛物线的焦点变成动直线过的定点,而那两条直线对称当且仅当伸缩变换后对称,所以我们只需要证明动直线过抛物线焦点的情形下成立即可。

QQ截图20130917131317.gif
2013-9-17 13:12


如图,易证 $OA$、$OB$ 分别过那两个垂足,于是易得 $PF=2xy/(x+y)$,故
\[\tan\angle APF=\frac{\sqrt{x^2-(PF-x)^2}}x=\sqrt{1-\left( \frac{2y}{x+y}-1 \right)^2}=\sqrt{1-\left( \frac{x-y}{x+y} \right)^2}=\frac{2\sqrt{xy}}{x+y},\]
同理 $\tan\angle APF=2\sqrt{xy}/(x+y)$,故……
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还是不怎么满意,感觉应该还有更简单更几何化的方法……不知以前有没有做过,没想起来……
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这样做简单一些:
QQ截图20130917135000.gif
2013-9-17 13:49

\[A'B'=\sqrt{AB^2-(AA'-BB')^2}=\sqrt{(x+y)^2-(x-y)^2}=2\sqrt{xy},\]

\[PA'=\frac{FA}{AB}\cdot A'B'=\frac x{x+y}\cdot2\sqrt{xy},\]
所以
\[\cot\angle A'PA=\frac{PA'}{AA'}=\frac{2\sqrt{xy}}{x+y},\]
同理……
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找到了之前的考题,第三问是一样的,附原考题参考答案
2007武汉.png
2013-9-17 14:21

2.png
2013-9-17 14:21

3.png
2013-9-17 14:21

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回复 6# Tesla35

还是用了解析法……
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是啊中考题的答案嘛,要是用了不该用的方法会被人骂的

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和高中题没什么区别……
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回复 9# kuing

这题2k很久以前写过……
see also:
http://kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=895

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角平分线定理?
其妙 发表于 2013-9-17 12:59

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